ÿþE l e m e n t y a k u s t y k i
L o n g i t u d i n a l , T r a n s v e r s e a n d M i x e d T y p e W a v e s
W a v e T y p e s S o u n d s A m a z i n g A S A L e v e l P h y s i c s R e v i s i o n U n i v e r s i t y o f S a l f o r d -
A G r e a t e r M a n c h e s t e r U n i v e r s i t y
F a l a p o d Bu \n a w s p r \y n i e s l i n k y
R o z p a t r u j e m y f a l e p o d Bu \n e ,
d l a t e g o y ( x , t ) j e s t w y c h y l e n i e m
p o d Bu \n y m z a l e \n y m
o d p o Bo \e n i a n a o s i x i
o d m o m e n t u c z a s u t
D zw i k
D zw i k m e c h a n i c z n a f a l a p o d Bu \n a
r o z c h o d z c a s i w p By n a c h : c i e c z a c h , c i a Ba c h
s t a By c h i g a z a c h .
Z a k r e s s By s z a l n y 2 0 H z 2 0 0 0 0 H z
d o 2 0 H z i n f r a d zw i k i ,
p o w y \e j 2 0 k H z u l t r a d zw i k i .
h t t p : / / p a w s . k e t t e r i n g . e d u / ~ d r u s s
e l l / D e m o s / r a d 2 / m d q . h t m l
M o d u B [c i [l i w o [c i p By n u
W u k Ba d z i e o d n i e s i e n i a , w k t ó r y m i m p u l s
s p o c z y w a e l e m e n t o b j t o [c i p By n u p o r u s z a s i
w s t r o n i m p u l s u , k t ó r y c h a r a k t e r y z o w a n y j e s t
p r z e z c i [n i e n i e ( p + "p ) i o b j t o [ ( V + "V ) .
W z g l d n a z m i a n a o b j t o [c i "V / V j e s t
s p o w o d o w a n a p r z e z z m i a n c i [n i e n i a "p .
M o d u B [c i [l i w o [c i o b j t o [c i o w e j p By n u :
"p
B = - .
"V / V
M o d u B [c i [l i w o [c i o [r o d k a
"p
B = - .
"V / V
P o n i e w a \ p o w i k s z e n i u c i [n i e n i a
t o w a r z y s z y z m n i e j s z e n i e o b j t o [c i ( "p > 0 ,
"V < 0 ) , n a t o m i a s t z m n i e j s z e n i u c i [n i e n i a
t o w a r z y s z y z w i k s z e n i e o b j t o [c i ( "p < 0 ,
"V > 0 ) , a b y B > 0 n a l e \y p o m n o \y i l o r a z
"p / ( "V / V ) p r z e z ( - 1 ) .
W y m i a r i j e d n o s t k i
m o d u Bu [c i [l i w o [c i
p F
p [ ] [ ]
îø ùø
B = = = p = =
[ ] [ ]
ïø úø
"V / V "V / V S
[ ] [ ]
ðø ûø
1
L 1
= M / L 2 = M .
T 2 T 2 L
J e d n o s t k i : p a s k a l 1 N / 1 m 2 .
M o d u B [c i [l i w o [c i j e s t p r o p o r c j o n a l n y
d o p o c h o d n e j c i [n i e n i a
w z g l d e m o b j t o [c i
"p d p
B = - l i m = - V .
"V ’!0
"V / V d V
W s p ó Bc z y n n i k [c i [l i w o [c i º j e s t
o d w r o t n o [c i m o d u Bu [c i [l i w o [c i
1 d V
º = - .
V d p
W s p ó Bc z y n n i k [c i [l i w o [c i º i m o d u B
[c i [l i w o [c i B c h a r a k t e r y z u j d a n y o [r o d e k .
J e d n o s t k i w j a k i c h m i e r z o n e j e s t
c i [n i e n i e i m o d u B [c i [l i w o [c i
J e d n o s t k a c i [n i e n i a p a s k a l P a :
1 P a = 1 N / m 2 .
"p
"p [ ]
îø ùø
B = = = "p .
[ ] [ ]
ïø úø
"V / V "V / V
[ ]
ðø ûø
M o d u B [c i [l i w o [c i j e s t m i e r z o n y w p a s k a l a c h .
O s c y l a c j e h a r m o n i c z n e
y x , t = y m c o s k x - Ét =
( ) ( )
2 À 2 À 2 À
öø îø
= y m c o s ëø x - t = y m c o s x - v t
( ) ùø
ìø ÷ø
ïø úø.
» T »
íø øø ðø ûø
W y c h y l e n i e y j e s t r ó w n o l e g Be d o o s i x .
Z m i a n a c i [n i e n i a p By n u s p o w o d o w a n a
r o z c h o d z e n i e m s i f a l i a k u s t y c z n e j :
"V S "y "y
"p = - B = - B = - B .
V S "x "x
F a l a a k u s t y c z n a b i e g n c a w r u r z e p r d k o [c i
v p r z e m i e s z c z a j c y s i o k r e s o w y u k Ba d
z a g s z c z e D i r o z r z e d z e D. Z d j c i e m i g a w k o w e
R o z c i g n i t y
p o z i o m o w i d o k
k r ó t k i e g o
o d c i n k a r u r y .
W y c h y l e n i e
w a r s t w y "x z
p o Bo \e n i a
r ó w n o w a g i , s m
y m
y m
m a k s y m a l n e j e j
w y c h y l e n i e .
W g r a n i c y "x ’!0
"p = - B "y / "x .
y = y m c o s k x - Ét .
( )
"y
= - k y m s i n k x - Ét .
( )
"x
"y
"p = - B = B k y m s i n k x - Ét .
( )
"x
C i [n i e n i e z m i e n i a s i h a r m o n i c z n i e .
P r d k o [ p r o p a g a c j i d zw i k u
D l a l i n y : v = T / µ .
D l a p By n u :
v = B / Ám .
Ám g s t o [ m a s y p By n u n a z e w n t r z
s t r e f y z g s z c z e n i a .
v 2 Ám = B .
B / Ám .
W y m i a r f i z y c z n y
1 / 2
ñø üø
M L / T 2
1 / 2
ôø ôø
F / S
ôø ôø
îø ùø
L 2
îø
B / Ám ùø = = =
òø ýø
ïø úø
ðø ûø
M
m / V
ðø ûø
ôø ôø
ôø ôø
L 3
óø þø
1 / 2
îø ùø
M L 3
= Å" = L 2 / T 2 = v .
[ ]
ïø úø
L T 2 M
ðø ûø
"p = B k y m s i n k x - Ét .
( )
p a
A m p l i t u d a c i [n i e n i a :
p a = B k y m = v 2 Ám k y m .
F a l d zw i k u m o \n a t r a k t o w a j a k o f a l
p r z e m i e s z c z e D a l b o j a k o f a l c i [n i e n i a :
"p = p a s i n k x - Ét .
( )
W y m i a r f i z y c z n y p a
L 2 M 1 M L 3 M
2
îø
p a =
[ ]
ðøv Ám k y m ùø = T 2 L 3 L L = T 2 L 4 = T 2 L .
ûø
W y m i a r c i [n i e n i a :
F M L / T 2 M
îø ùø
p = = = .
[ ]
ïøS úø
L 2 T 2 L
ðø ûø
p a = p .
[ ] [ ]
D zw i k
F a l e s p r \y s t e r o z c h o d z c e s i w p o w i e t r z u o
c z s t o [c i z z a k r e s u 1 6 - 2 0 0 0 0 H z o d b i e r a n e
p r z e z u c h o c z Bo w i e k a r o b i w r a \e n i e d zw i k u .
R z e c z y w i s t y d zw i k n i e j e s t p r o s t y m
d r g a n i e m h a r m o n i c z n y m l e c z z Bo \e n i e m d r g a D
h a r m o n i c z n y c h o o k r e [l o n y m z e s t a w i e
c z s t o [c i . T e n z e s t a w n a z y w a s i w i d m e m
a k u s t y c z n y m .
O d e b r a n e d zw i k i r o z r ó \n i a n e s p r z e z l u d z i
w e d Bu g w y s o k o [c i , b a r w y i g Bo [n o [c i .
T y p y z e s t a w ó w c z s t o [c i
" W w i d m i e w y s t p u j d r g a n i a o w s z y s t k i c h
c z s t o [c i a c h z p r z e d z i a Bu o d ½ d o ½ w i d m o
c i g Be . S t o s z u m y .
" D zw i k s k Ba d a s i z d r g a D o c z s t o [c i a c h
d y s k r e t n y c h ½1 , ½2 , ½3 , i t d . w i d m o l i n i o w e .
D zw i k t a k i n a z y w a s i w i e l o t o n e m . N a j n i \s z a
c z s t o [ w i e l o t o n u ( n p . ½1 ) n a z y w a s i
c z s t o [c i p o d s t a w o w . W z g l d n e n a t \e n i e
p r z y t o n ó w ( d zw i k u o c z s t o [c i a c h ½2 , ½3 , i t d . )
o k r e [l a b a r w d zw i k u .
F a l a w o [r o d k u s p r \y s t y m
N i e c h w o [r o d k u s p r \y s t y m w k i e r u n k u x
r o z c h o d z i s i f a l a :
y x , t = y m c o s Ét - k x + ± .
( ) ( )
W y d z i e l i m y w o [r o d k u o b s z a r &!"V o o b j t o [c i
"V , n a t y l e m a Be j , \e w e w s z y s t k i c h p u n k t a c h
t e g o o b s z a r u p r d k o [ r u c h u i o d k s z t a Bc e n i e
s t a k i e s a m e i r ó w n e o d p o w i e d n i o "y ( x , t ) / "t
i "y ( x , t ) / "x . Ám j e s t g s t o [c i m a s y o [r o d k a .
E n e r g i a f a l i s p r \y s t e j
E n e r g i a k i n e t y c z n a o [r o d k a z g r o m a d z o n a w
o b s z a r z e &!"V :
2
Ám "y
ëø öø
"W k = "V .
ìø ÷ø
2 "t
íø øø
E n e r g i a s p r \y s t a o [r o d k a z g r o m a d z o n a w
2
o b s z a r z e &!"v :
E "y
ëø öø
"W p = "V .
ìø ÷ø
2 "x
íø øø
p a r a m e t r
d e f o r m a c j i
M o d u B Y o u n g a
W s p ó Bc z y n n i k E n a z y w a s i m o d u Be m Y o u n g a .
Z w i z a n y j e s t o n z g s t o [c i m a s y o [r o d k a
i p r d k o [c i f a z o w v f a l i :
E = Ám v 2 .
M o d u B Y o u n g a j e s t c h a r a k t e r y s t y k
m e c h a n i c z n c i a B s t a By c h .
W y m i a r m o d u Bu Y o u n g a
2
2 "W p
E "y
ëø öø
E =
"W p = "V
2
ìø ÷ø
2 "x
"y
ëø öø
íø øø
"V
ìø ÷ø
"x
íø øø
îø ùø
ïø úø
"W p
E M L 2 / T 2 M
îø ùø
2
ïø úø
îø ùø
E = = = = =
[ ]
ïø úø
ïøëø "y öø2 úø
V L 3 L T 2 ðøÁm v ûø
ðø ûø
"V
ïøìø úø
÷ø
"x
ïø úø
íø øø
ðø ûø
M L 2 M
2
îø
[ ]
ðøÁm v ùø = L 3 T 2 = L T 2 = p .
ûø
C a Bk o w i t a e n e r g i a o b s z a r u &!"V
2 2
ùø
Ám îøëø "y "y
öø öø
"W = "W k + "W p = "W k = + v 2 ëø "V .
ïøìø úø
÷ø ìø ÷ø
2 "x
íø øø
ïøíø "t øø úø
ðø ûø
G s t o [ e n e r g i i w :
2 2
ùø
"W Ám îøëø "y "y
öø öø
w = = + v 2 ëø
ïøìø úø.
÷ø ìø ÷ø
"V 2 "x
íø øø
ïøíø "t øø úø
ðø ûø
G s t o [ e n e r g i i o [r o d k a s p r \y s t e g o
d l a f a l i h a r m o n i c z n e j
"y x , t
( )
= y m És i n k x - Ét ,
( )
"t
"y x , t
( )
v = - y m v k s i n k x - Ét .
( ) ( )
"x
É
w x , t = Ám y m É2 s i n 2 k x - Ét .
( ) ( )
Zr e d n i a g s t o [ e n e r g i i :
w s r = Ám y m É2 / 2 .
S t r u m i e D e n e r g i i
I l o [ e n e r g i i "W p r z e p By w a j c e j w i n t e r w a l e
c z a s u "t p r z e z p o w i e r z c h n i n a z y w a m y
s t r u m i e n i e m e n e r g i i ¦:
"W
¦ = .
"t
J e d n o s t k i s t r u m i e n i a : W / s .
S t r u m i e D e n e r g i i j e s t w i e l k o [c i w e k t o r o w .
G s t o [ s t r u m i e n i a e n e r g i i
S t r u m i e D e n e r g i i j e s t w i e l k o [c i z a l e \n o d
p u n k t u w p r z e s t r z e n i , w k t ó r y m j e s t o n
m i e r z o n y .
G s t o [ s t r u m i e n i a e n e r g i i j :
E n e r g i a p r z e p By w a j c a p r z e z e l e m e n t
p o w i e r z c h n i o j e d n o s t k o w y m p o l u
z n a j d u j c y s i w d a n y m p u n k c i e o [r o d k a .
E l e m e n t t e n j e s t p r o s t o p a d By d o k i e r u n k u ,
w k t ó r y m p r z e n o s z o n a j e s t e n e r g i a .
W z ó r o k r e [l a j c y w i e l k o [
g s t o [c i s t r u m i e n i a e n e r g i i
"S ¥" - p o l e p o w i e r z c h n i e l e m e n t u p r o s t o p a d Be g o
¥"
¥"
¥"
d o k i e r u n k u r o z c h o d z e n i a s i f a l i . W c z a s i e "t
p r z e p By w a e n e r g i a "W :
"¦ "W
j = = .
"S ¥" "S ¥""t
W i e l k o [ g s t o [c i s t r u m i e n i a e n e r g i i
P r z e z p o w i e r z c h n i "S ¥" p o d s t a w y
"S ¥"
w a l c a w i n t e r w a l e c z a s u "t p r z e -
v
n o s z o n a j e s t e n e r g i a "W z a w a r t a
w e w n t r z w a l c a o p o l u p o d s t a w y
v "t
"S ¥" i w y s o k o [c i v "t . J e \e l i r o z -
m i a r y w a l c a s n a t y l e m a Be , \e
g s t o [ e n e r g i i w n i m z a w a r t e j
j e s t s t a Ba , t o :
"W = w "S ¥"v "t .
"W w "S ¥"v "t
j = = = v w .
"S ¥""t "S ¥""t
W e k t o r g s t o [c i s t r u m i e n i a e n e r g i i
v - w e k t o r o d Bu g o [c i r ó w n e j p r d k o [c i
f a z o w e j f a l i i k i e r u n k u z g o d n y m z
k i e r u n k i e m j e j r o z c h o d z e n i a s i .
W e k t o r g s t o [c i s t r u m i e n i a e n e r g i i :
j = w v .
Zr e d n i a w a r t o [ t e g o w e k t o r a :
1
j s r = w s r v = Ám y 2 É2 v .
m
2
£ p o w i e r z c h n i a , p r z e z k t ó r
p r z e p By w a e n e r g i a
D z i e l i m y p o w i e r z c h n i £,
p r z e z k t ó r p r z e p By w a
"£"S
e n e r g i a , n a e l e m e n t y "£"S
v "t
E l e m e n t a r n y w a l e c , p r z e z
k t ó r y p r z e p By w a e n e r g i a
£
(
t
+
"
t
£
)
(
t
)
C a Bk o w i t y s t r u m i e D e n e r g i i
p r z e p By w a j c e j p r z e z p o w i e r z c h n i
Z n a m y w k a \d y m p u n k c i e p o w i e r z c h n i £S o
j
p o l u S . R o z k Ba d a m y p o w i e r z c h n i n a e l e m e n t y
"£"S o p o l u "S .
Æ
n
Õ
j
P o d s t a w a w a l c a :
"£"S
W i d o k
v "t
e l e m e n t a r -
O b j t o [ w a l c a : "V = v "t "S c o s Õ,
n e g o w a l c a
z a w a r t a w n i m e n e r g i a : "W = w "V :
o d s t r o n y
p o w i e r z c h n i
"W = w v "t "S c o s Õ = j "S c o s Õ"t .
b o c z n e j
Z o r i e n t o w a n y e l e m e n t p o w i e r z c h n i
Æ
n
N i e c h b d z i e w e k t o r e m ¥" d o e l e m e n t u "£"S
Æ
"£"S n
Æ
w t e d y : "S = "S n .
"W = j "S c o s Õ"t = j Å" "S "t .
"W
"¦ = = j Å""S .
"t
C a Bk o w i t y s t r u m i e D e n e r g i i p r z e z
p o w i e r z c h n i £S
¦ = d S Å" j .
+"
£S
Zr e d n i a w a r t o [ s t r u m i e n i a e n e r g i i p r z e z
d o w o l n p o w i e r z c h n i f a l o w f a l i k u l i s t e j o
p r o m i e n i u r . W t y m p r z y p a d k u w e k t o r w o d z c y
d a n e g o p u n k t u p o w i e r z c h n i | | s t r u m i e n i a
j "S
e n e r g i i .
( )
K o n s e k w e n c j e t e j o b s e r w a c j i .
Zr e d n i a w a r t o [ s t r u m i e n i a e n e r g i i
p r z e z d o w o l n p o w i e r z c h n i f a l o w
f a l i k u l i s t e j
W t y m p r z y p a d k u w e k t o r w o d z c y d a n e g o
j "S .
p u n k t u p o w i e r z c h n i | | s t r u m i e n i a e n e r g i i :
¦s r = j s r d S = j s r S = j s r 4 Àr 2 =
+"
S
1
ëø
Ám y 2 É2 v öø 4 Àr 2 = 2 Àr 2 Ám É2 y 2 v .
m m
ìø ÷ø
2
íø øø
F a l a k u l i s t a z w i z e k p o m i d z y a m p l i t u d
f a l i y m i p r o m i e n i e m p o w i e r z c h n i f a l o w e j r
P o n i e w a \ c a Bk o w i t y s t r u m i e D p r z e z p o w i e r z -
c h n i k u l i o d o w o l n y m p r o m i e n i u j e s t s t a By , t o
y m = r - 1
y 2 r 2 = c o n s t .
m
1 1
j s r = Ám y 2 É2 v = Ám r - 2 É2 v .
m
2 2
Zr e d n i a g s t o [ s t r u m i e n i a e n e r g i i f a l i k u l i s t e j
m a l e j e z k w a d r a t e m p r o m i e n i a p o w i e r z c h n i
f a l o w e j .
G Bo [n o [ d zw i k u
N a t \e n i e I d zw i k u j e s t [r e d n i p o c z a s i e
g s t o [c i s t r u m i e n i a e n e r g i i , k t ó r n i e s i e f a l a
d zw i k o w a .
G Bo [n o [ d zw i k u j e s t w i e l k o [c i s u b i e k t y w n .
P o z i o m g Bo [n o [c i L :
L = l o g I / I 0 .
I 0 p r z y j t y u m o w n i e p o z i o m o d n i e s i e n i a
g Bo [n o [c i :
I 0 = 1 0 - 1 2 W / m 2 ,
w y b r a n y t a k , a b y p r ó g s By s z a l n o [c i d l a
c z s t o [c i 1 0 3 H z o d p o w i a d a B L = 0 .
1 3 . 1 2 . 1 0 g . 1 0
J e d n o s t k i g Bo [n o [c i
B e l e ( B ) i d e c y b e l e :
L = l o g I / I 0 .
( )
S t o s u n e k d w ó c h n a t \e D w d e c y b e l a c h :
I 1
L = 1 0 l o g .
I 2
W r a \e n i e d zw i k u d l a ( 1 0 - 1 2 1 0 1 ) W / m 2 :
d l a I = 1 0 - 1 2 W / m 2 : L = 1 0 l o g I 0 / I 0 = 0 ,
( )
d l a I = 1 0 1 W / m 2 : L = 1 0 l o g 1 0 / 1 0 - 1 2 = 1 2 0 d b .
( )
yr ó d Bo I . W . S a w i e l i e w
W k Ba d y z f i z y k i t . 2
Z a l e \n o [ p r o g u b ó l u i p r o g u
s By s z a l n o [c i o d c z s t o [c i d zw i k u
P r a w o W e b e r a - F e c h n e r a
R e l a c j a p o m i d z y B - f i z y c z n m i a r b o d zc a , a
w - r e a k c j u k Ba d u b i o l o g i c z n e g o . D o t y c z y o n o
r e a k c j i n a b o d zc e t a k i c h z m y s Bó w j a k w z r o k ,
s Bu c h c z y o d c z u c i e t e m p e r a t u r y .
J e s t t o p r a w o f e n o m e n o l o g i c z n e b d c e
w y n i k i e m w i e l u o b s e r w a c j i p r a k t y c z n y c h
i z n a j d u j c a w i e l e z a s t o s o w a D t e c h n i c z -
n y c h .
M a t e m a t y c z n a p o s t a p r a w a
W e b e r a - F e c h n e r a
B I
w = k l o g = 1 0 l o g ,
B 0 I 0
w - r e a k c j a u k Ba d u b i o l o g i c z n e g o ( w r a \e n i e
z m y s Bo w e ) ,
B - n a t \e n i e d a n e g o b o d zc a ,
B 0 - w a r t o [ p r o g o w a n a t \e n i a d a n e g o
b o d zc a ( n a j n i \s z a w a r t o [ b o d zc a
r e j e s t r o w a n e g o p r z e z l u d z k i e z m y s By ) ,
( d l a d zw i k u I 0 = 1 0 - 1 2 W / m 2 ) .
O c e n a g Bo [n o [c i d zw i k u z a l e \y o d
l o g a r y t m u c i [n i e n i a a k u s t y c z n e g o n a
m e m b r a n i e b b e n k a u c h a .
I n n k o n s e k w e n c j p r a w a W e b e r a -
F e c h n e r a j e s t f a k t , \e a b y u z y s k a
l i n i o w s k a l , n p . w p o k r t l e g Bo [n o [c i
r a d i a ( d w a r a z y d a l s z a p o z y c j a d a j e d w a
r a z y g Bo [n i e j s z y d zw i k ) , n a l e \y s t o s o w a
p o t e n c j o m e t r l o g a r y t m i c z n y .
O s z a c o w a n i e y m d l a p r o g ó w b ó l u
i s By s z a l n o [c i i ½= 1 0 0 0 H z
+
P r ó g b ó l u
P r ó g s By s z a l n o [c i
+
O s z a c o w a n i e y m
y m = p a / q Ám v 2
Ám = 1 , 2 2 k g / m 3
( )
D l a ½= 1 0 0 0 s - 1 ( H z )
2 À 2 À½ 2 À× 1 0 0 0 1 / s
k = = = C" 1 8 , 5 m - 1
» v 3 4 0 m / s
2 5 N / m 2
(
y m p b ) = H" 9 , 6 Å"1 0 - 6 m
1 8 , 5 m - 1 Å"1 , 2 2 k g / m 3 Å"3 4 0 2 m 2 / s 2
2 Å"1 0 - 5 N / m 2
(
y m p s ) = H" 7 , 7 Å"1 0 - 1 2 m
1 8 , 5 m - 1 Å"1 , 2 2 k g / m 3 Å"3 4 0 2 m 2 / s 2
N a t \e n i e f a l i e m i t o w a n e j p r z e z p u n k t o w e
zr ó d Bo d zw i k u o m o c y P i r o z c h o d z c e j s i
w o [r o d k u i z o t r o p o w y m
P P
I = = .
S 4 ÀR 2
N a t \e n i e d zw i k ó w p o c h o d z c y c h
z d w ó c h zr ó d e B p u n k t o w y c h
P 1 P 2
I = I 1 + I 2 = +
P 1
4 À R 2 4 À R 2
1 2
R 1
P 2
R 2
F a l e r o z c h o d z c e s i w s t r u n i e
o g s t o [c i l i n i o w e j µ
Z w i z k i p o m i d z y c h a r a k t e r y s t y k a m i f a l i :
v v
» = v T = ’! ½ = .
½ »
P r d k o [ p r o p a g a c j i d zw i k u w y r a \a s i p r z e z
w i e l k o [ s i By F i l i n i o w g s t o [ m a s y s t r u n y µ :
1 4 . 1 2 . 1 0 g 1 4
v = F / µ .
N a j p r o s t s z a f a l d zw i k o w a w r u r z e
1 3 . 1 2 . 1 0 g . 1 4
F a l e s t o j c e s Bu p a p o w i e t r z a
F a l e s t o j c e w r u r a c h i
o d p o w i a d a j c e i m s t a n y
s t r u n y . O b y d w a k o Dc e r u r y
o t w a r t e . M o \l i w e j e s t
w z b u d z e n i e k a \d e j
h a r m o n i c z n e j .
F a l e s t o j c e w r u r z e ,
k t ó r e j j e d e n z k o Dc ó w
j e s t z a m k n i t y . M o \n a
w z b u d z i t y l k o
n i e p a r z y s t e h a r m o n i c z n e .
D Bu g o [c i f a l s t o j c y c h s Bu p a
p o w i e t r z a w r u r z e
» / 2 = L / 2 Ò! » = L
» / 2 = L / 3 Ò! » = 2 L / 3
» / 2 = L / 4 Ò! » = L / 2
» / 2 = 2 L Ò! » = 4 L
» / 2 = 2 L / 3 Ò! » = 4 L / 3
1 3 . 1 2 . 1 0 g . 1 4
C z s t o [c i f a l s t o j c y c h w s Bu p a c h
p o w i e t r z a o t w a r t y c h z o b y d w u k o Dc ó w
v v
½1 = =
»1 2 L
v v
½2 = = = 2 ½1
»2 L
v 3 v
½3 = = = 3 ½1
»3 2 L
v 4 v
½4 = = = 4 ½1
»4 2 L
v n v
½n = = = n ½1
»n 2 L
F a l a s t o j c a w r u r z e z a m k n i t e j
z j e d n e g o k o Dc a
v v
½1 = =
»1 4 L
3 v
½3 = = 3 ½1
4 L
5 v
½5 = = 5 ½1
4 L
7 v
½7 = = 7 ½1
4 L
( 2 n + 1 ) v
½n = = ( 2 n + 1 ) ½1
4 L
f a l e s t o j c e s t r u n y
v v
½1 = =
»1 2 L
v v
½2 = = = 2 ½1
»2 L
v 3 v
½3 = = = 3 ½1
»3 2 L
v 2 v
½4 = = = 4 ½1
»4 L
v
½n = = n ½1
»n
C z s t o [
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