1 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Podstawy Fizyki Fazy Skondensowanej
Ćwiczenia
¨ , ·
·
:
1 " " k "
¨ , · · · 1 k
" " "
¨ , ¨ ,
:
"
¨ , · ·
"
¨ , ¨ ,
Zadanie 1
Energia kinetyczna postępowego ruchu gazowej cząsteczki jest równa . Jaka jest długość fali de Brolie a tej
czÄ…steczki w temperaturze T.
3
2 2
3
2 2
3
3
"
Zadanie 2
Cząstka jest uwięziona w nieskończenie wysokiej studni potencjału. Wyznacz możliwe wartości energii tej cząstki
oraz funkcje własne odpowiadające kolejnym stanom cząstki.
" 2
V
" "
¨ ¨ 0
2 "
¨
II I III "
2
¨ 0 0 ¨
0
a x
0
www.helman.eu
2 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
0
¨ cos sin cos sin
¨ 2 sin
2
¨ sin
sin 1
sin 1 cos
cos sin cos 2
sin cos sin 1 cos cos 2
2 cos 1 cos 2
1 1 1
sin 1 cos 2 1 cos 2
2 2 2
1
1 cos 2 1
2
1 1 1 1
|
1 cos 2 sin 2 0 sin 2 sin 0 1
2 2 2 2 4 2
2
"
2
"
2
1,2,3, &
2
2
¨ sin ·
n n
3
2
1
0 a 0 a
www.helman.eu
3 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 3
Określ współczynniki transmisji i odbicia rozpatrując cząstkę poruszającą się w stronę potencjału schodkowego o
wysokości .
I II
¨
¨
¨ 0 ¨ 0 ¨ 0 ¨ 0
2
2 1 2
1
2
1
2
" 2
Zadanie 4
Rozważ elektron w cienkiej warstwie półprzewodnika. Wyznacz grubości warstwy wiedząc, że różnica energii
pomiÄ™dzy poziomem podstawowym i pierwszym poziomem wzbudzonym wynosi 0,05 , 9,1 · 10
6,62 · 10 0,05 8 · 10
3
" 2 1
2 2 2
3 3 3
2 " 2 " 2 2 "
3
3,31 · 10
2 · 9,1 · 10 · 8 · 10
Zadanie 5
CzÄ…stka o masie m znajduje siÄ™ w jednowymiarowej przestrzeni w pewnym stanie stacjonarnym opisana jest funkcjÄ…
falowÄ… postaci ¨ gdzie a i C to pewne staÅ‚e.
a) Wyznacz wartość C zakładając że jest znana
"
b) Wyznacz energię potencjalną tej cząstki w zależności od wielkości x, wiedząc, że jej energia całkowita to
a) ¨
www.helman.eu
4 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
1 1
"
"
b) ¨ ¨ ¨
" "
¨ ¨ · 2 · ¨ ¨ ¨ ¨
" " 2
¨ ¨ ¨
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
www.helman.eu
5 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia 17.03.2010
Zadanie 6
Cząstka znajduje się w trójwymiarowym pudle z całkowicie nieprzepuszczalnymi ściankami. Krawędzie pudła mają
wymiary odpowiednio a, b, c. Wyznaczyć możliwe wartości energii tej cząstki.
!2
- "¨ = E¨
2m
¨ = Asin kx x Å" sin ky y Å" sin kz z
c
nxĄ
kxa = nxĄ kx =
a
b
a
nyĄ
kyb = nyĄ ky =
b
nzĄ
kzc = nzĄ kz =
c
2 2
2mE nx n2 nz
y
= Ä„ + +
! a2 b2 c2
nx 2 nz
!2 2 ëÅ‚ 2 ny 2 öÅ‚
E = Ä„ + +
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2m a2 b2 c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 7
Wyznacz średniokwadratowe wychylenie i średniokwadratową energię potencjalną oscylatora harmonicznego.
T
0
1
x2 = x2 = A2 cos2 Ét + Ã dt
( )
+"
T
0
T
1
x2 = A2 cos2 Étdt
+"
T
0
îÅ‚
cos2 Ét = 1- sin2 Ét
ïÅ‚
2
ïÅ‚cos Ét - sin2 Ét = cos 2Ét
ïÅ‚
2
ïÅ‚2cos Ét -sin2 Ét = 1+ cos 2Ét -sin2 Ét
ïÅ‚
1+ cos 2Ét
2
ïÅ‚cos Ét =
ðÅ‚ 2
A2 T
x2 =
+"(1+ cos 2Ét)dt
2T
0
ëÅ‚ öÅ‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
A2 1 A2 1 4Ä„ A2
ëÅ‚T öÅ‚
x2 = + sin 2ÉT = + sin T =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚T ÷Å‚
2T 2É 2T 2É T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
1 kA2
EP = k x2 =
2 4
www.helman.eu
6 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 8
1
CzÄ…stka o masie m porusza siÄ™ po osi OX w jednowymiarowym polu potencjalnym U = mÉ2 x2 . StosujÄ…c zasadÄ™
2
nieoznaczoności oszacować najmniejszą energię cząstki w tym polu.
A2 A2
"x = 2 x2 x2 = "x = 2 = A 2
2 2
2
"px = px
"x"px = !
! !2
2
"px = px =
2A2
2A
2
px 1
+ mÉ2 x2 = E
2m 2
!2 A2 d
E = + mÉ2
4mA2 4 dA
2!2 2 A
0 = - + mÉ2
4mA3 4
!2 !2 !
A4 = A2 = =
m2É2 m2É2 mÉ
!
2
! m É !É !É 1
2
Emin = + mÉ = + = !É
4 4 4 2
!
4 m
mÉ
Zadanie 9
Oszacować energię minimalną elektronu w atomie wodoru oraz jego odległość od jądra opierając się na relacji
nieoznaczoności Heisenberga.
2
"x = 2r "px = px
2
"y = 2r "py = py
2
"x = 2r "pz = pz
2 2 2
px + py + pz e2
EC = EK + EP = -
2m 4Ä„µ0r
Obliczenia na x:
"px Å" "x = !
!
px 2r = ! px = = py = pz
2r
3!2 e2 d
EC = -
8mr2 4Ä„µ0r dr
3 !2 e2
0 = - +
4 mr3 4Ä„µ0r2
3 !2 e2 3Ä„µ0!2
= r =
3
4 me2
mr 4Ä„µ0 r2
www.helman.eu
7 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
2
3!2 e2 3 !2 m e4 me4 me4 me4
EC = - = - = - =
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
3Ä„µ0!2 4Ä„ µ0 3!2 24Ä„ µ0 !2 12Ä„ µ0 !2
8 m 9 Ä„ µ0 !
ëÅ‚ öÅ‚
3Ä„µ0!2
3
4Ä„µ0
8mìÅ‚
me2
me2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
me4 2me4 me4
- = -
2 2 2 2 2 2
24Ä„ µ0 !2 24Ä„ µ0 !2 24Ä„ µ0 !2
me4
EC = -
2 2
24Ä„ µ0 !2
Zadanie 10
r
-
1
r1
Funkcja falowa elektronu w stanie podstawowym w atomie wodoru ma postać ¨ r = Ae gdzie A = i
( )
Ä„ r13
jest wielkością stałą, natomiast r1 to promień pierwszej orbity Bohra. Określić:
a) Najbardziej prawdopodobną odległość pomiędzy elektronem a jądrem.
b) Wartość średnią Ep elektronu w polu jądra.
c) Wykorzystać gęstość prawdopodobieństwa i funkcję falową.
2
Á r dr = ¨ r dV
( ) ( )
2
Á r dr = ¨ r 4Ä„ r2 dr
( ) ( )
r
-2
d
r1
Á r = A2e 4Ä„ r2
( )
dr
r r
-2 -2
2 1
r1 2 r1
0 = - A2e 4Ä„ r + A2e 8Ä„ r 0 = - + r
r1 r1
r
r = r1
2 dr
EP ¨ r dV
( )
+"
V
EP =
2
¨ r dV
( )
+"
V
1
x 1
Å‚Å‚
Korzystamy z zależnoÅ›ci: xeaxdx = eax îÅ‚ - zmieniamy także współrzÄ™dne z kartezjaÅ„skich na sferyczne
+"
ïÅ‚ śł
a a2
ðÅ‚ ûÅ‚
r
e2 -2 r1 2
EP =
+"+"+"- 4Ä„µ0 r A2e r sin¸ Å" dr Å" d¸ Å" dĆ
V
r
2Ä„ Ä„ " Ä„
-2
e2r Ä„
r1
EP = dĆ d¸ = 1+1 = 2
+" +"sin¸ +"- 4Ä„µ0 A2e dr +"sin¸ d¸ = - cos¸ 0
0 0 0 0
r r
e2 A2 " -2 r1 e2 A2 " -2 r1
EP = - 2Ä„ Å" 2 Å"
+"r Å" e dr = - µ0 +"r Å" e dr =
4Ä„ µ0 0
0
" "
ëÅ‚ öÅ‚
r r
îÅ‚ Å‚Å‚
e2 A2 -2 r1 r1r r12 e2 A2 -2 r1 r1r + r12 e2 A2 r1 Å" 0 + r12 r1 Å" " + r12 e2 A2 r12
ìÅ‚1Å" ÷Å‚
EP = - Å" e = Å" e = Å" -0 Å" = Å"
ïÅ‚- 2 - 4 śł
÷Å‚
µ0 µ0 4 µ0 ìÅ‚ 4 4 µ0 4
ðÅ‚ ûÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
e2 A2r12
EP =
4µ0
www.helman.eu
8 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia 24.03.2010
Będziemy liczyć czynniki upakowania przestrzennego
S0 V0
w sytuacji dwuwymiarowej oznaczymy jako · = w trójwymiarowej jako · = .
S V
Zadanie 11
a
a2
S0 Ä„ 4 Ä„
· = = =
S a2 4
Zadanie 12
Oblicz współczynnik upakowania płaskiego układu heksagonalnego.
a
a2 Ä„
S0 3Ä„ 4 4 Ä„ 3
· = = = =
S 6
a 3 1 3
6 a
2 2 2
Zadanie 13
Obliczyć współczynnik upakowania przestrzennej sieci regularnej:
a) Sieci prostej
b) PÅ‚asko centrowanej
c) Przestrzenie centrowanej
3
a
ëÅ‚ öÅ‚
4Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
1
2
íÅ‚ Å‚Å‚
V0 8 8 3 Ä„
a) · = = =
V a3 6
1 1 4
ëÅ‚8 + 6 öÅ‚
Ä„ r3
÷Å‚
a 2 V0 ìÅ‚ 4 Å" 4 a3 2 2 2Ä„
8 2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
b) 2r = · = = = Ä„ =
2 V a3 3 a3 64 6
3
ëÅ‚ öÅ‚
4 a 3
2 Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
a 3 V0 3 ìÅ‚ 4 ÷Å‚ Ä„ 3
íÅ‚ Å‚Å‚
c) r = · = = =
4 V a3 8
www.helman.eu
9 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 14
8
Obliczyć współczynnik upakowania dla prymitywnej sieci heksagonalnej, przyjmując że c = a
3
3
4 a
ëÅ‚ öÅ‚
4 4
Ä„
Ä„ Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
V0
3 2 2Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚
12 12
· = = = = =
V 12
8 8 2 2
sin 60° a Å" a2 3
( )
3 3
Zadanie 15
Oblicz odległość najbliższych atomów w krysztale wolframu mającym sieć regularną przestrzennie centrowaną o
stałej sieci a=0,316nm.
a 3
r =
4
a 3 3
lmin = 2r = = 0,316nm = 2,74A
2 2
Zadanie 16
Gęstość kryształu NaCl wynosi 2180kg/m3. Obliczyć stałą jego sieci krystalicznej.
Masa atomowa źCl=35,45 źNa=22,9898 U=1,6605.10-23kg
mk = 4U µCl + µNa
( )
Vk = a3
4U µCl + µNa
mk ( )
Á = =
Vk a3
4U µCl + µNa
( )
3
a =
Á
Zadanie 17
Obliczyć stałą krystaliczną sieci miedzi wiedząc że ma ona sieć regularną płasko centrowaną, masa atomowa
źCu=63,55 oraz gÄ™stość ÁCu=8890kg/m3. U=1,6605.10-23kg
mk = 4U µCu
Vk = a3
mk 4U µCu 4U µCu
3
Á = = a = = 3,6A
Vk a3 Á
www.helman.eu
10 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 18
Obliczyć liczbę atomów zawartych w komórce elementarnej srebra przyjmując stałą sieci a=4,0862Šmasę atomową
srebra ź=107,868 oraz Á=10500kg/m3. U=1,6605.10-23kg
nU µAg
Áa3
a3 = Ò! n =
Á U µAg
Zadanie 19
Obliczyć promień atomu który można umieścić w luce oktaedrycznej przy zwartym ułożeniu kul o jednakowej
wielkości o promieniu R.
a
2r + 2 = a 2
2
2r = a 2 - a
2r
a =
2 -1
2r = 2R 2 - a
2R 2 - a
r =
2
a
r = R 2 -
2
Zadanie 20
Oblicz liczbę komórek elementarnych zawartych w 1cm3 NaCl oraz stałą sieci tego kryształu wiedząc że jego gęstość
wynosi Á=2180 a masa molowa 58,5g/mol.
4U µCl + µNa
( )
3
a =
Á
Liczę ile jest moli w m3 potem ile jest cząstek w m3 potem obliczam ile jest komórek elementarnych a potem się
domyśl (oblicz to w końcu!!!)
www.helman.eu
11 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 31.03.2010 określanie wskazników Millera
hkl wskazniki paszczyzny
( )
hkl
{ }
uvw kierunek
[ ]
Zadanie 21
W pewnym krysztale regularnym płaszczyzna sieniowa odcina na poszczególnych osiach odcinki o długościach x=a,
y=-a, z=2a wyznaczyć jej wskazniki Millera
hkl
( )
D D D
h = k = l =
x y z
1 1 1
h = k = l =
a -a 2a
2 -2 1
h = k = l =
2a 2a 2a
2
( -2 1
)
Zadanie 22
W pewnym krysztale regularnym płaszczyzna sieniowa odcina na poszczególnych osiach odcinki o długościach x=3,
y=-2, z=4 a wyznaczyć jej wskazniki Millera
hkl
( )
D D D
h = k = l =
x y z
1 1 1
h = k = l =
3 -2 4
4 -6 3
h = k = l =
12 12 12
4
( -6 3
)
Zadanie 23
Oblicz odległość między płaszczyznami (100), (110), (111).
1 h2 + k2 + l2
=
2
dhkl a2
1 12 + 02 + 02 1
= = dhkl = a
2
dhkl a2 a2
1 12 +12 + 02 2 a 2
= = dhkl =
2
dhkl a2 a2 2
1 12 +12 +12 3 a 3
= = dhkl =
2
dhkl a2 a2 3
www.helman.eu
12 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 24
Oblicz odległość między płaszczyznami (112)dla kryształu o strukturze tetragonalnej o stałej sieci a=b=5,34Ši
c=7,8Å).
1 h2 + k2 l2
= +
2
dhkl a2 c2
1 12 +12 22 2 2 2a2 + 2c2
= + = + = =
2
dhkl a2 c2 a2 c2 a2c2
Zadanie 25
Oblicz cosinusy kierunkowe normalnej do płaszczyzny o wskaznikach Millera (135) dla sieci regularnej
u v w
= =
h k l
u v w
= =
1 3 5
15u 5v 3w
= =
15 15 15
15 5 3
[ ]
Ć
a = 15iĆ + 5 5 + 3k
a = 152 + 52 + 32 = 225 + 25 + 9 = 259 = 16,1
15
cosÄ… =
16,1
3
cos ² =
16,1
5
cosł =
16,1
Zadanie 26
Obliczyć wartość kąta zawartego między dwoma prostymi [110] i [111] w sieci kubicznej prostej kryształu o stałej sieci
a=4,08Å
2a2 + a2 = b2
b = a 3
a 2 6
cosÄ… = =
3
a 3
6
Ä… = arccos = 35, 2°
3
Drgania sieci krystalicznej. Fonony optyczne i akustyczne.
Jeśli mielibyśmy kryształ gdzie w komórce elementarnej występuje 1 atom N=1 w przypadku takiego kryształu
.
mogą wystąpić 3 fonony akustyczne. Liczba fononów 3N = 3 1 = 3 (LA, 2TA) jeden fonon wzdłużny i dwa
poprzeczne w takim krysztale nie mogą występować fonony optyczne.
Zjawisko dyspersyjne między tymi fononami. Rozpracuj komórkę prymitywną.
Kryształy Peroskitowe ABO3. A Jon, B inny jon.
www.helman.eu
13 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zdolność dyspersyjna.
Dla N=1
É
q
“
Dla N=2
3N = 3Å" 2 = 6 co daje 3 fonony akustyczne i 3 fonony optyczne.
É É
LO
2TO
LA
2TA
q q
“ “
0 0
Fonony akustyczne Fonony optyczne
0 0
www.helman.eu
14 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 07.04.2010
Relacja miedzy wektorami sieci prostej i odwrotnej
Jeżeli przez , , oznaczymy wektory sieci prostej, to relacja między wektorami sieci odwrotnej , , :
| |
·
| |
·
| |
·
Objętość komórki prymitywnej rozpiętej na wektorze komórki odwrotnej
1 1
| |
· b
| |
· V
Jest równa odwrotności objętości komórki prymitywnej sieci prostej.
Ciepło właściwe (w naszych rozważaniach ciepło właściwe molowe)
Aby móc określić ciepło właściwe trzeba znać energię wewnętrzną kryształu
Istnieją dwie (w rzeczywistości trzy) metody opisujące drgania sieci.
1. Model klasyczny który oparty jest o drgania klasycznego, jest najprostszy i bardzo niedokładny. Nie zdaje
egzaminu w niskich temperaturach.
2. Model Einsteina Einstein założył, że drgania są wykonywane przez oscylatory kwantowe. Przyjął także, że
wszystkie oscylatory drgają z taką samą częstotliwością, opisuje więc raczej fonony optyczne, ponieważ
akustyczne wykazujÄ… znacznÄ… dyspersjÄ™.
3. Model Debye a Debye dodał do metody Einsteina dyspersję. Założył, że częstotliwość jest zależna od
wektora falowego (przy czym dla małego q zależność ta jest liniowa) założył drgania kolektywne.
Fonony bada siÄ™ w pobliżu Å›rodka pierwszej strefy Brillouina “ (np. metodÄ… Ramana) wynika z niej, że energia
fononów optycznych jest tysiąckrotnie większa od akustycznych (np. długością argonową 488nm)
Fononów akustycznych więc nie da się badać metodą Ramana. Świetnie za to bada się je metodą nieelastycznego
rozpraszania neutronów. Dodatkowo w odróżnieniu do metody Ramana metodą nieelastycznego rozpraszania
neutronów można badać fonony w caÅ‚ej strefie Brillouina nie tylko w bezpoÅ›rednim otoczeniu “ (Å›rodka pierwszej
strefy Brillouina).
1. Model klasyczny
3 3
U energia wewnętrzna układu
NA liczba oscylatorów (w naszym przypadku liczba Avogadro)
k stała Boltzmanna
- stała gazowa. Równa iloczynowi liczby Avogadro i stałej Boltzmanna.
3 pojawiła się we wzorze ze względu na trzy stopnie swobody oscylatorów.
3 25
·
www.helman.eu
15 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
CV Model klasyczny
Jest to całkowicie błędne
3R Krzywa doświadczalna
(np. kalorymetrem)
pokazuje że ~
T
2. Model Einsteina posłużymy się rozkładem Bosego-Einsteina
1
- średnia energia oscylatora harmonicznego
- funkcja rozkładu Bosego-Einsteina
1
1
3
1
Określmy teraz w takim wypadku dla:
a)
1
3 3 3 3 3
1 1
3
Czyli dla bardzo wysokich temperatur mamy pokrycie siÄ™ z modelem klasycznym.
b)
1 1
3 3 3 3
CV
Model klasyczny
3R Krzywa doświadczalna
(np. kalorymetrem)
pokazuje że ~
Model Einsteina
T
www.helman.eu
16 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
3. Model Debye`a
Debye dodał do modelu Einsteina zależność liniową pomiędzy częstością a wektorem falowym.
gdzie to średnia prędkość fononów
Å› Å›
É
q
Gdzie to częstotliwość Debye`a.
Rozkład częstości oscylatorów w modelu Debye`a:
4
Å›
4
·
Å›
1
Ta funkcja musi być unormowana, aby to zrobić trzeba ją scałkować po całej objętości.
3
4 4 4 1 4
3 3 Å›
Å› Å› Å›
4
3
3 Å›
9 3 Å›
4
Å›
4
4
Å›
9
4 9
· 9 ·
4
1 1
9 1
Dygresja:
Wprowadzamy
Gdzie to temperatura Debye`a
www.helman.eu
17 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
9 9 9
1 1 1
9
9 9
1 1 1
Określmy teraz w takim wypadku dla:
a)
"
1 15
3
9 · ·
15 5
3 3
· · · 4
5 5
12
· ·
5
Czyli dla niskich temperatur mamy pokrycie z krzywą doświadczalną.
b)
1
1
9 9 9 9
1 1 1 3
1
9 3 3 3
3
3 3
Czyli dla wysokich temperatur mamy zgodność z modelem klasycznym, Einsteina i z krzywą doświadczalną.
CV
Model klasyczny
3R Model Debye`a ~
Model Einsteina
~
T
www.helman.eu
18 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 28.04.2010
Zadanie 27
Obliczyć minimalnÄ… dÅ‚ugość fali cieplnej w tytanie, jeżeli temperatura Debye a dla tytanu wynosi 5ÚC a prÄ™dkość
rozchodzenia siÄ™ dzwiÄ™ku w tytanie jest równa 6000 , 1,38 · 10 , 6,626 10 4,135
10
6,66 · 10 · 6 · 10
10
1,38 · 10 · 5
Zadanie 28
Jaka jest maksymalna energia fononów w krysztale ołowiu jeżeli temperatura Debye a dla ołowiu wynosi 94 .
1,38 · 10 · 94 0,08
Zadanie 29
Określić ilość ciepła niezbędną do ogrzania kryształu o masie 20 od temp 2 do 4 ,
temperatura Debye a dla 320 , masa molowa 58,5
Ciepło właściwe molowe:
12
· ·
5 ·
Ciepło właściwe masowe:
12
· ·
5 ·
12 12 12 1
· · · · · ·
5 5 5 4
3
· · ·
5
Zadanie 30
Przy podgrzewaniu srebra 108 o masie 10 od temperatury 10 do 20 zużyto 0,71
ciepła określić temperaturę Debye a dla srebra zakładając że
3
· · ·
5
3
· · ·
5
3
· · ·
5
www.helman.eu
19 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 31
Wyliczyć graniczną częstotliwość Debye a, jeżeli wiadomo, że ciepło molowe dla srebra przy temp 20
wynosi 1,7
12
· ·
5
12
· ·
5
12
· ·
5
Zadanie 32
Posługując się teorią ciepła właściwego określić energię wewnętrzną jednego mola kryształu w temperaturze
0,1 . Temperatura Debye a dla danego kryształu wynosi 300 .
3 3 3 3
· · 0,1 · · · 10 · 8,31 · 3,14 · 300 · 10 14,5
5 5 5 5
Zadanie 33
Długość Fali fononu odpowiadającego częstotliwości 0,01 wynosi 52 określić temperature Debye a
jeżeli średnia wartość prędkości dzwięku w krysztale wynosi 4,8 .
100
100
Zadanie 34
Określić pęd Fononu o częstotliwości 0,1 . Średnia prędkość dzwięku w tym krysztale wynosi 1380 a
100 .
0,1 0,1 0,1
Zadanie 35
Oblicz liczbę fononów występujących w zakresie częstotliwości " 4 4,1 w krysztale o objętości 1
i temperaturze T=300K. średnia prędkość propagacji fali w krysztale wynosi 6000 .
· ·
4 1 1 3,14 · 4 1 1
3 · 12 0,1 · 4,4 · 10
·
1000 6000 , , · · 1000
1
1
www.helman.eu
20 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Wprowadzenie do spektroskopii Brillouina
równe prawdopodobieństwa
L
rozpraszanie kwazi-elastyczne
nie jest czysto elastyczne
nie jest czysto sprężyste
F-P
K
LA+2T
A
2
| | sin sin 2 sin
2 2 2
2 sin
2
"
"
2 sin
2
" 2 sin
2
prędkość propagacji fononów w krysztale
kÄ…t rozpraszania
promieniowanie padajÄ…ce
współczynnik załamania światła
prędkość światła
" Zmiana długości fali (Raman) nie ma wpływu na przesunięcie danego modu
" W przypadku Brillouine a długość fali ma wpływ na przesunięcie Brillouine a
" W procesie oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z drganiami sieci (fononami o częstości
i wektorze falowym ) mogą powstawać lub zanikać fonony (stokesowskie i antystokesowskie linie
Brillouinesowskie w widmie).
www.helman.eu
21 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 36
Na krysztaÅ‚ lodu pada Å›wiatÅ‚o o dÅ‚ugoÅ›ci 455 . Pod kÄ…tem 65Ú obserwuje siÄ™ Å›wiatÅ‚o rozproszone w
skutek efektu Brillouina. Obliczyć częstotliwość fononów oraz wartość względnej zmiany częstotliwości
rozproszonego promieniowania. 3230 /
2
2
2
" 2 sin 4 sin
2 2
Zadanie 37
Światło laserowe o długości fali 694 pada na kryształ kwarcu ulegając rozproszeniu w skutek drgań
akustycznych sieci krystalicznej. Obliczyć względną zmianę częstotliwości światła rozproszonego przyjmując
1,54 6000 90°
" " ·
4 sin 2 sin 4,35 · 10
· 2 2 · 2 2
Zadanie 38
Obliczyć prędkość fal podłużnych w krysztale mających sieć stałą regularną przestrzennie centrowaną mającą stałą
sieci 1 dla którego temperatura Debye a Ś 208
1 atom
2 atomy
Åš
2
Åš
2
Åš Åš 2 Åša
2 2 4
Zadanie 39
Obliczyć prędkość dzwięku w krysztale o strukturze regularnej prostej Ś 300 , 2,5
Åš
Åš Åša
2 2
www.helman.eu
22 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 05.05.2010
Typy drgań normalnych (wykonuje je każda molekuła)
reprezentujÄ… drgania jednowymiarowe
dwukrotnie zdegenerowane
trójkrotnie zdegenerowane
opisuje drgania symetryczne względem osi o najwyższej krotności
opisuje drgania antysymetryczne względem osi o najwyższej krotności
oznacza że drganie jest symetryczne względem środka symetrii
oznacza że drganie jest antysymetryczne względem środka symetrii
oznacza symetryczność drgania względem innej osi niż oś o najwyższej krotności
oznacza antysymetryczność drgania względem innej osi niż oś o najwyższej krotności
symetryczność drgania względem płaszczyzny symetrii (jeśli płaszczyzn jest wiele, mówimy wówczas o
symetryczności względem płaszczyzny horyzontalnej)
antysymetryczność drgania względem płaszczyzny symetrii (jeśli płaszczyzn jest wiele, mówimy wówczas o
antysymetryczności względem płaszczyzny horyzontalnej)
drganie pełno symetryczne
Tabela wkładów atomów niezmieniających swego
położenia pod wpływem danej operacji symetrii do
pełnego charakteru operacji na danej molekule
Operacje symetrii Wkłady
operacja tożsamościowa 3
oś właściwa -1
0
1
2
płaszczyzna symetrii (dowolna) 1
centrum symetrii (środek) -3
oś niewłaściwa -2
-1
0
1
ż ż
liczba reprezentacji danego typu (jest zawsze równa liczbie całkowitej)
Suma wszystkich operacji w danej grupie punktowej jest równa rzędowi grupy punktowej
rzÄ…d grupy punktowej
liczba operacji symetrii w danej klasie
ż wkład wynikający z reprezentacji redukowalnej
ż wkład z tabeli charakterów
W widmach absorpcyjnych w podczerwieni aktywne są tylko te drgania, które transformują się poprzez translacje
, , , , translacje w odpowiednich kierunkach
Aktywność w widmie Ramana
www.helman.eu
23 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Tensor polaryzowalności:
www.helman.eu
24 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 12.05.2010
Zadanie 40
Wyznacz liczbę i symetrię drgań wykonywanych przez molekułę wody
Rozpatrujemy molekułę więc grupa punktowa
Pierwsza rzecz jaką robimy to przygotowanie tabeli do reprezentacji redukowalnej i następnie nieredukowalnej
2 2
Liczba
nieprzemieszczajÄ…cych 3 1 3 1
się atomów
Wkład 3 -1 1 1
“ reprezentacja
9 -1 3 1
redukowalna
Magiczna formuła:
1
ż ż
1 12
1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1 3
4 4
1 4
1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1 1
4 4
1 12
1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1 3
4 4
1 8
1 · 1 · 9 1 · 1 · 1 1 · 1 · 3 1 · 1 · 1 2
4 4
“ 3 3 2
“ .
“ .
“ “ “ . “ . 3 3 2 2
1 1 1 1 , ,
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1 ,
1 -1 -1 1 ,
Zadanie 41
Wyznacz liczbę i symetrię drgań molekuły czterochlorku węgla o symetrii punktowej .
8 3 6 6
www.helman.eu
25 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Liczba
nieprzemieszczajÄ…cych 5 2 1 1 3
się atomów
Wkład 3 0 -1 -1 1
“ reprezentacja
15 0 -1 -1 3
redukowalna
Magiczna formuła:
1
ż ż
1 24
1 · 1 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3 1
24 24
1 0
1 · 1 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 3 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3 0
24 24
1 24
1 · 2 · 15 8 · 1 · 0 3 · 1 · 1 6 · 0 · 1 6 · 0 · 3 1
24 24
1 24
1 · 3 · 15 8 · 0 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3 1
24 24
1 72
1 · 3 · 15 8 · 0 · 0 3 · 1 · 1 6 · 1 · 1 6 · 1 · 3 3
24 24
“ _ 3
“ .
“ .
“ “ “ . “ . 3 2
Zadanie 42
Wyznacz liczbę i symetrię drgań dla molekuły amoniaku o symetrii
2 3
Liczba
nieprzemieszczajÄ…cych 4 1 2
się atomów
Wkład 3 0 1
“ reprezentacja
12 0 2
redukowalna
Magiczna formuła:
1
ż ż
1 18
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 3
6 6
1 6
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1
6 6
1 24
1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2 4
6 6
www.helman.eu
26 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
“ 3 4
“ .
“ .
“ “ “ . “ . 3 4 2 2
Zadanie 43
Wyznacz liczbę i symetrię drgań dla molekuły amoniaku o symetrii
2 3 2 3
Liczba 2 1 2
nieprzemieszczajÄ…cych 4 1 4
się atomów
Wkład 3 0 -1 1 -2 1
“ reprezentacja -2 -2 2
12 0 4
redukowalna
Magiczna formuła:
1
ż ż
1 12
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2 1
12 12
1 12
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2 1
12 12
1 36
1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2 1 · 2 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2 3
12 12
1 0
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2 0
12 12
1 24
1 · 1 · 12 2 · 1 · 0 3 · 1 · 2 1 · 1 · 4 2 · 1 · 2 3 · 1 · 2 2
12 12
1 12
1 · 2 · 12 2 · 1 · 0 3 · 0 · 2 1 · 2 · 4 2 · 1 · 2 3 · 0 · 2 1
12 12
“ 3 2
“ .
“ .
“ “ “ . “ . 3 2 2
Ćwiczenia z dnia 19.05.2010
Analiza symetrii położeniowych
5 atomów, oktaedry w narożach tej komórki, struktura kubiczna, 8 oktaedrów.
duży czarny atom
środki oktaedrów
Atomy tlenu w wierzchołkach
symetria 3 0
www.helman.eu
27 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
3 lub
Czytamy od końca
1 oznacza, że w komórce elementarnej nie może być dwóch atomów o tej samej symetrii
Jeden tylko dwa atomy, ich symetria jest taka sama
Dwa dwa różne atomy w różnych miejscach o takiej samej symetrii
najwyższa możliwa symetria oktaedryczna
3 tleny
Ile drgań wprowadza każdy z tych atomów?
15 drgań 3 translacje, 3 libracje (wyhamowanie rotacyjne)
3
2 “ 15
6 3
nigdy w ramanie, może być aktywna w podczerwieni.
“ fonony akustyczne
W spektroskopii optycznej nie zaobserwujemy drgań
tytanian baru
4
W fazie wysokotemperaturowej ma takÄ… symetriÄ™ w 120° zmienia fazÄ™ na struktury . Jeżeli obniżamy
temperaturę zmniejsza się symetria, gdy występuje przejście fazowe. Gdy przejście fazowe nie występuje to stała
sieci siÄ™ zmienia.
1 oznacza ile takich jednostek strukturalnych mieści się w komórce elementarnej.
Komórka prymitywna jest komórką spektroskopową w ramanie, i ma mniejszą V od elementarnej komórki.
W Oktaedrach tleny są rozróżnialne, nie możemy odczytać tego faktu z tablic.
1
1
2 2
" nieskończoność (odnośnie tabeli) dane rentgenostrukturalne
Tabela13b
Ba a ?
Ti b
O(1)
2O(2) 2
1 Gdyby 2 to “ 30
“ 4 5
Przejście typu przesunięciowego
4 , 5 ,
www.helman.eu
28 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Zadanie 44
Określ liczbę i symetrię drgań normalnych w krysztale o strukturze perowskitu
W dwóch przypadkach
a) Z jednym typem jonów w pozycji b
b) Z dwoma różnymi jonami w pozycji b w stosunku 1 do 1
a)
b)
, ,
3
jeśli w b w środkach znajdują się jony rozróżnialne to następuje porządkowanie w jeśli się porządkują to zmniejsza
siÄ™ symetria.
Stała sieci zwiększa się dwa razy
Objętość komórki elementarnej jest 4x większa od prymitywnej.
3 3
8 atomów “
4 atomy “
4 atomy “
24 atomy “ 2
“ 5 2
, ,
srtont aluminium tantan tlen
duże różnice w promieniach jonowych
“ 2 obecne w ramanie
W widmie powinny wystąpić 4 linie
elementy diagonalne tensora Ramana
Polaryzacja najistotniejsze.
wzdłuż elementów diagonalnych polaryzacja
powinniśmy rejestrować w każdej geometrii równoległej
www.helman.eu
29 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Ćwiczenia z dnia 26.05.2010
Funkcja rozkładu Fermiego Diraca
1
1
0
1
½
energia Fermiego
Poziom Fermiego w zwykłych temperaturach:
2
2 8
Maksymalna energia elektronu w najwyższym zajętym poziomie energetycznym w metalu
3
8
Parametr zwyrodnienia poziomów energetycznych w metalach
W temperaturze zera bezwzględnego elektrony wypełniają najpierw najniższe stany energetyczne, a następnie coraz
wyższe aż do energii Fermiego. W temperaturze wyższej od 0K pewna niewielka część elektronów może przekroczyć
tę wartość energii tak iż Energia Fermiego staje się średnią energią kinetyczną elektronów które mogą przenieść się
do stanów niezajętych, a więc są to elektrony swobodne.
Zadanie 45
Wyznaczyć funkcję rozkładów Fermiego w temp różnej od 0K dla elektronu znajdującego się na poziomie Fermiego.
Otrzymany wynik przedyskutować.
1 1 1
1 1 2
1
Na poziomie może być tylko jeden elektron
Zadanie 46
Znalezć różnicę energii (w jednostkach )między elektronem znajdującym się na poziomie Fermiego a elektronem
znajdującym się na poziomie którego prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi 0,2 oraz 0,8
1
1
www.helman.eu
30 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
1
1
1
ln 1
1
ln 1
1
ln 1 ln 4
0,2
1 1
ln 1 ln ln 4
0,8 4
Zadanie 47
W jaki sposób i ile razy zmieni się prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu energetycznego w
metalu jeżeli poziom ten jest położony o 0,1eV wyżej od poziomu Fermiego, a temperatura zmienia się od 1000K do
300K.
StaÅ‚a Boltzmana 8,62 · 10
1
1
1 1 1
0,2386
, , ,
1
, · ·
1
, · ·
1
1 1
0,02049
, ,
, · ·
1 , · · 1
11,64
Zadanie 48
Wyznaczyć prawdopodobieństwo zapełnienia pasma przewodnictwa przez elektrony w półprzewodniku jeśli
wiadomo, że poziom Fermiego leży w środku pasma zabronionego a dla elektronów w paśmie przewodnictwa można
posługiwać się rozkładem Boltzmanna zamiast Fermiego (szerokość pasma wzbronionego " ).
1 "
"
2
1
"
2
"
1 1 1
" " "
1
1
Zadanie 49
Oblicz energię Fermiego w 0 dla aluminium. Przyjąć że na każdy atom aluminium przypadają trzy elektrony
swobodne. Gęstość aluminium 2,7 10 masa atomowa 26,98 .
www.helman.eu
31 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
Jak opisać ilość elektronów w metalu?
Ze względna to że elektrony można opisać za pomocą funkcją rozkładu Fermiego ponieważ są fermionami. Można je
podzielić na dwa obszary do poziomu Fermiego i powyżej.
1 · 0 · 1 ·
Ponieważ mogą się znalezć 2 elektrony o przeciwnych spinach możemy zapisać:
4
2
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
2
2
"2
2 2
2
"
4 4 4 8
2 2 2 2
2 2
8 8 8 2 8
2 2 2 2
"
3 3
8
2
3
3
8 8
3 2
1 2 2 3 3
walencyjne
3
3
9
8
Zadanie 50
Określić jaka część elektronów przewodnictwa w metalu w temperaturze 0 ma energię kinetyczną większą od
połowy energii Fermiego.
www.helman.eu
32 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
8 8 8 2
2 2 2
"
3
8 1
2 1
3 8
8
2
3
1
1
8
1
1 0,65
8
Zadanie 51
Wykazać że w metalu w temperaturze 0 :
a) Średnia arytmetyczna prędkość elektronów przewodnictwa wynosi 0,75
b) Średnia kwadratowa prędkość wynosi 0,7746
1
3
4
0,75
1 4
3
1
3
5
1 5
3
3 3
0,7746
5 5
Zadanie 52
Wyznacz liczbę oraz symetrię drgań normalnych cząsteczek trans o płaskiej strukturze opisanej symetrią .
Podzielić drgania na wewnętrzne i zewnętrzne oraz opisać ich aktywność w widmach IR i RS
Liczba drgań 3 3 4 12
LNA 4 2 0 2
Wkład 3 -1 -3 1
“ 12 -2 0 2
1 12 2 2
1 12 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 3
4 4
1 12 2 2
1 12 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 3
4 4
1 12 2 2
1 12 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2
4 4
1 12 2 2
1 12 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 4
4 4
www.helman.eu
33 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
“ 3 3 2 4
“
“
“ 3 3 2 4 2 , 2 3
Zadanie 53
Wyznacz przesuniÄ™cie Brillouina dla geometrii 90°. Na podstawie otrzymanej zależnoÅ›ci oblicz prÄ™dkość
propagacji fali sprężystej w krysztale o współczynniku załamania światła 1,45. Długość fali światła
wzbudzającego 514,5 a zaobserwowane przesunięcie Brillouina wynosi " 27
2 2
" 2 sin
2
" " "
sin sin sin
2
2 2 2 4 2
2
Zadanie 54
Oblicz energię Fermiego w 0 dla miedzi. Przyjąć że na każdy atom aluminium przypadają dwa elektrony
swobodne. Gęstość aluminium 2,7 10 masa atomowa 26,98 .
Ze względna to że elektrony można opisać za pomocą funkcją rozkładu Fermiego ponieważ są fermionami. Można je
podzielić na dwa obszary do poziomu Fermiego i powyżej.
1 · 0 · 1 ·
Ponieważ mogą się znalezć 2 elektrony o przeciwnych spinach możemy zapisać:
4
2
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
2
2
"2
2 2
2
"
4 4 4 4
2 2 2 8
2 2
4 4 4 2 8
8 8 8 2
"
3 3
8
2
3
www.helman.eu
34 Fizyka Fazy Skondensowanej - Ćwiczenia
3
8 8
3 2
2
2
6
8
Zadanie 55
Wychodząc z funkcji rozkładu energetycznego elektronów przewodnictwa, znalezć funkcję rozkładu prędkości
elektronów w metalu w temperaturach 0 i 0 . Przedstawić przybliżony obraz tej funkcji dla obu
temperatur.
0
1 0
0
4
2
Wyrażamy energię za pomocą pędu.
2 "2
2
2 2
2
"
4 4 8 4
2 2 8
2 2
4
8 1
Zależność między energią a prędkością:
"
2 2
Podstawiamy:
4 4 8
8 4
2
0
1 1
1
1
8 8 1 8 1
1
1
www.helman.eu
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ćwiczenia z podstaw prawa cywilnego z umowami w administracji Ipas cwiczenia podstawowe cz2cwiczenie 4 i 5 z geod fiz i graw geo ?zNazwy1Ćwiczenie 2 3 Podstawy użytkowania wiersza poleceń systemu Windows 2000;XP;2003CWICZENIA Z PODSTAW RECEPTURY KOSMETYCZNEJprogram cwiczen z podstaw informatyki 2cpp cwiczenia podstawowe 1 Kluczewskizestawy cwiczen przygotowane na podstawie programu Mistrz Klawia 6fiz cwiczenia(1)podstawy automatyki ćwiczenia lista nr+więcej podobnych podstron