UNIWERSYTET KAZIMIERZA WIELKIEGO
Instytut Mechaniki Åšrodowiska
i Informatyki Stosowanej
PRACOWNIA SPECJALISTYCZNA
INSTRUKCJA DO ĆWICZEC

Nr ćwiczenia TEMAT: Wyznaczanie przepuszczalności ziarnistych
materiałów porowatych metodą zmiennego
ciśnienia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowym prawem (prawem Darcy)
rządzącym przepływem płynu przez porowate materiały oraz metodami
eksperymentalnego wyznaczania współczynnika ich przepuszczalności.
WYPOSAŻENIE STANOWISKA:
1. Układ do pomiaru przepuszczalności metodą zmiennego ciśnienia.
2. Układ zalewowy.
3. Granulat szklany.
4. Woda destylowana.
5. Stoper.
6. Instrukcja.
LITERATURA:
1. A.Wieczysty: Hydrogeologia inżynierska, W-wa, PWN 1982.
2. E.Myślińska, Laboratoryjne badanie gruntów, W-wa, PWN
3. G.Castany, Poszukiwanie i eksploatacja wód podziemnych, W-wa, PWN 1972.
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
Przepływ płynów przez porowate materiały przepuszczalne.
Wiele materiałów naturalnych i technicznych spośród rodziny ciał stałych
charakteryzuje się tym, że posiada przepuszczalną strukturę porowatą. Są to ciała,
które zawierają dużą liczbę porów (pustych przestrzeni) o bardzo różnorodnym
kształcie, a ich charakterystyczne wymiary są małe w porównaniu z wymiarem
charakterystycznym samego ciała. Szczególną i fizycznie bardzo ważną cechą ciał
porowatych jest ich przepuszczalność. Jest to zdolność takich materiałów do
wchłaniania cieczy i gazów a także ich transportu wewnętrznymi kanałami
utworzonymi przez wzajemnie połączone pory.
Przepuszczalne materiały porowate występują powszechnie w przyrodzie
jako gleby, roponośne i gazonośne skały, podziemne zbiorniki wodne, a także jako
biologiczne materiały porowate np.: tkanka kostna i płuca. Ważną rolę odgrywają
techniczne materiały porowaye np.: spieki metalifiltry, katalizatory. Ich znaczenie
wynikaz faktu, że jednoczą w sobie dwie przeciwstawne cechy, sztywność struktury
zapewnioną przez szkielet i możliwośćtransportu różnych substancji ważnych np.
dla życia organizmu.
1.1. Zasada zachowania energii cieczy.
Ciecze doskonałe pozostające w ustalonym ruchu w polu sił ciężkości
zachowują swą energię. Wyraża to zasada zachowania energii cieczy doskonałej
sformułowanej w 1738 r. przez D. Bernoulliego:
" suma energii kinetycznej, potencjalnej i energii ciśnienia cząstki cieczy
doskonałej w ustalonym ruchu w polu sił ciężkości pozostaje stała.
2
Rys. 1.
Aby przedstawić tę zasadę w postaci formuły matematycznej rozważmy dowolny,
ustalony przepÅ‚yw cieczy o gÄ™stoÅ›ci Á (Rys. 1.).
Założenie że przepływ jest ustalony oznacza że wielkości opisujące ruch
cieczy: prędkość v i ciśnienie p nie zależą od czasu. Wielkości te natomiast mogą
przyjmować różne wartości w różnych punktach przestrzeni w której ruch ten ma
miejsce.
Biorąc pod uwagę elementarną objętość "V cieczy poruszającej się z
prędkością V jej energia kinetyczna dana jest wzorem
1
"EK = "mv2
(1)
2
gdzie
"m = Á"V
(2)
jest masą cieczą zawartej w objętości "V.
Z kolei wybierajÄ…c pewien poziom odniesienia dla energii potencjalnej w polu
grawitacyjnym, energiÄ™ tÄ™ dla elementu cieczy o masie "m znajdujÄ…cego siÄ™ na
wysokości z od poziomu odniesienia możemy przedstawić w postaci
3
"EP = "mgz
(3)
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.
Ostatnią formą energii wymagającą uwzględnienia przy ruchu płynu jest energia
ciśnienia cieczy. Można ją przedstawić w postaci
"EC = p"V
(4)
Dysponując wyrażeniami (1), (3) i (4) dla poszczególnych form energii zasadę
Bernoulliego możemy przedstawić za pomocą równania
"EK "EP
(5) + + "E = "E = const.
C
Oznacza to, że energia całkowita cząstki cieczy doskonałej w ruchu ustalonym w
polu sił ciężkości pozostaje stała.
PodstawiajÄ…c (1), (3) i (4) do (5) otrzymujemy
1
"mv2
(6) + "mgz + p"V = const.
2
Po podzieleniu obu stron równania (6) przez "mg przyjmuje ono postać
V2 p const
+ + z = const (= )
(7)
2g Ág "mg
gdzie wykorzystano definicję gęstości (2) oraz wprowadzono nową stałą po prawej
stronie równania.
Równanie (7) znajduje szerokie zastosowanie przy analizie różnych
zagadnień związanych z ustalonym przepływem cieczy doskonałej.
Przykładowo umożliwia określenie prędkości wypływu cieczy ze zbiornika
wywołanego naporem słupa cieczy o wysokości h (Rys. 2.).
4
po
P
po
vo
Rys. 2.
Stan cząstki płynu w punkcie P określony jest parametrami
p = p , v = 0, z = h,
o
natomiast w punkcie Q tej samej linii prądu przyjmują one wartości
p = p , v = v , z = 0,
o o
Wykorzystując równanie Bernoulliego (7) otrzymamy
"EP = "EQ
czyli
2
po vo po
= +
.
Ág 2g Ág
StÄ…d mamy
vo = 2gh
.
5
1.2. Wysokość hydrauliczna, wysokość piezometryczna.
W zagadnieniach związanych z hydrauliką i hydrologią wód podziemnych suma
trzech członów występujących w równaniu (7) i oznaczana jest przez H nazywana
jest wysokością hydrauliczną, wysokością naporu hydraulicznego lub wprost
naporem. Mamy tu jak w (7)
v2 p
H = + + z
(8) .
2g Ág
Każda z wielkości występujących w tej sumie ma wymiar wysokości (długości).
p Ág
Dlatego z - jest nazywana wysokością położenia, - wysokością ciśnienia, a
v2 2g - wysokością prędkości.
p Á g
Wysokość ciśnienia
jest wysokością słupa cieczy o ciężarze właściwym ł
= Á g, nad punktem cieczy w którym panuje ciÅ›nienie p (Rys. 3.)
po = 0
p/Á g
p
v
Rys. 3.
6
Wysokość położenia z jest to wysokość wzniesienia rozważanego punktu nad
dowolnie przyjętym poziomem odniesienia.
Wysokość prędkości v2 2g jest miarą ciśnienia dynamicznego jakie wywiera
ciecz płynąca z prędkością v. Odpowiada ona wysokości na jaką wzniesie się ciecz
w pionowej rurce jeśli na drugi koniec rurki napływa ciecz z prędkością v. (Rys. 4.)
p
2
v /2g
p
v
Rys. 4.
Te trzy wysokości stanowią miarę trzech rodzajów energii mechanicznej tj.
energii ciśnienia, energii położenia i energii kinetycznej cząstek cieczy. Suma
wysokości ciśnienia i wysokości położenia
p
HS = + z
(9)
Ág
jest nazywana wysokością piezometryczną, i stanowi część statyczną całkowitej
energii cząstek płynu. Wysokość prędkości stanowi część dynamiczną tej energii.
Uwzględniając (9), wzór (8) możemy przedstawić w postaci
v2
H = HS +
(10)
2g
7
Aby wyznaczyć (zmierzyć) wysokość piezometryczną (hydrauliczną) w
nasyconym cieczą (wodą) porowatym gruncie w punkcie A położonym na pewnej
głębokości pod powierzchnią ziemi (Rys. 5.) należy wywiercić otwór aż do punktu
A i wpuścić rurkę1). Po ustaleniu się położenia powierzchni swobodnej wody w
rurce, wyznaczenie
Rys. 5.
pB = pA
powierzchnia
swobodna cieczy
pA / Á g
poziom
odniesienia
wysokości położenia z umożliwia wyznaczenie wysokości hydraulicznej H w
B A
punkcie A gdyż w nieruchomej cieczy (a taka jest w rurce) wysokości hydrauliczne
w każdym punkcie rurki są jednakowe. Biorąc pod uwagę, że
p = Ág ( z - z )
A B A
otrzymujemy:
pA pB + Á g (zB - zA ) pB
HA = + zA = + zA = + zB = HB
.
Á g Á g Á g
Dla cieczy doskonałej energia cząstek (elementarnej objętości) cieczy w trakcie
ich ustalonego ruchu (wzdłuż strugi cieczy) pozostaje stała
(11) H = const.
1
UrzÄ…dzenie tego typu nazywa siÄ™ piezometrem.
8
W zagadnieniach związanych z przepływem cieczy rzeczywistej np. przez
ośrodki porowate ze względu na dysypację energii powodowaną lepkością płynu,
wysokość hydrauliczna H nie jest wielkością stałą wzdłuż strugi cieczy. W takim
przypadku prędkość przepływu cieczy przyjmuje małe wartości a wysokość
prędkości v2 / 2g jest znacznie mniejsza od wysokości piezometrycznej H i
s
dlatego może być pominięta. Wówczas wysokość hydrauliczną H możemy
utożsamiać z wysokością piezometryczną H
s
p
H = HS = + z
(12) .
Á g
1.3. Prawo Darcy
Henry Darcy badając przepływy wody przez materiały porowate utworzone z
piasku eksperymentalnie stwierdził, że objętość wody jaka przepływa w jednostce
czasu przez warstwę przepuszczalnego piasku o grubości L jest wprost
proporcjonalna do różnicy wysokości hydraulicznych "H = H - H po obu
A B
stronach porowatej warstwy (Rys. 6.) oraz do wielkości pola A jej przekroju
poprzecznego przez którą przepływa woda, natomiast jest odwrotnie
proporcjonalna do grubości tej warstwy. Mamy
" H
Q = K A
(13)
L
gdzie K jest współczynnikiem proporcjonalności. Zależy on od własności
porowatego materiału a także od lepkości cieczy (wody).
Współczynnik ten w hydrologii nazywany jest przewodnością hydrauliczną.
9
Wielkość Q nazywana jest wydatkiem przepływu cieczy.
Rys. 6.
Biorąc pod uwagę, że
pA po + Á g("h - L)
A = + zA = + zA
Ág Á g
natomiast
po
B = + zB
Á g
10
dla przyrostu "H wysokości hydraulicznych otrzymamy
po + Á g(" h - L) po
" = A - B = + zA - - zB = "h
(14)
Á g Á g
uwzględniając (14) w równaniu (13) otrzymamy
"h
Q = K A
(15)
L
Równanie Darcy (13) możemy także zapisać w postaci
(16) U = K i
gdzie wielkość
Q
U =
(17)
A
jest nazywana prędkością filtracyjną, natomiast wielkość
" "
(18) i = =
L L
jest nazywana gradientem hydraulicznym.
Równanie (16) jest najprostszą postacią prawa Darcy.
Inną postać prawa Darcy otrzymamy rozważając poziomy przepływu dowolnej
cieczy przez porowatÄ… warstwÄ™ (Rys. 7.)
11
z = z
A B
poziom
odniesienia
Rys. 7.
W takim przypadku
pA pB
HA = + zA
,  = Ág + zB .
B
Ág
Ponieważ z = z mamy
A A
pA - pB "p
" = =
(19) .
Á g Ág
Podstawiając wyrażenie (19) do (18) równanie (16) przyjmie postać
š "p
U =
(20) .
Ág L
Stosunek "p / L spadku ciśnienia "p do długości L na którym on występuje
nazywany jest gradientem ciśnienia.
12
DoÅ›wiadczalnie i teoretycznie wykazano, że współczynnik K /Á g jest
odwrotnie proporcjonalny do lepkoÅ›ci cieczy µ
š k
=
(21) .
Á g µ
Wówczas z (20) mamy
k "p
U =
.
µ L
Współczynnik k nazywany jest przepuszczalnością porowatego ośrodka. Wielkość
ta dla umiarkowanej prędkości przepływu płynów nie zależy od własności płynu i
jest parametrem charakteryzującym wyłącznie strukturę porów porowatego
materiału.
2. PODSTAWOWE METODY WYZNACZANIA PRZEPUSZCZALNOÅšCI
MATERIAA
ÓW POROWATYCH
Przepuszczalność materiału porowatego charakteryzuje jego zdolność do
przepuszczania płynu pod działaniem różnicy ciśnień (gradientu ciśnienia, gradientu
hydraulicznego). Określa ją współczynnik przewodności hydraulicznej K (patrz
wzór (16)) lub współczynnik przepuszczalności k (patrz wzór (21)) . Wartość
współczynnika K jest zdeterminowana przez strukturę porowatego materiału i
własności płynu, natomiast parametr k jedynie przez strukturę.
Przepuszczalność materiału porowatego może być mierzona przy pomocy
cieczy lub gazu, przy czym zastosowanie cieczy jest korzystniejsze ze względu na
konieczność pomiary mniejszej liczby parametrów.
Przepuszczalność i przewodnośc wyznacza się bądz
przez badanie próbek w
laboratorium, bÄ…dz
w warunkach badań terenowych.
13
Do najważniejszych metod laboratoryjnych poniaru przepuszczalności
materiałów porowatych należą:
" metoda ze stałym ciśnieniem cieczy,
" metoda ze zmiennym ciśnieniemcieczy.
2.1. Metoda ze stałym ciśnieniem cieczy.
Metoda ze stałym ciśnieniem cieczy polega na tym, że przez próbkę
materiałui porowatego przepuszczana jest ciecz przy stałej różnicy ciśnień po obu
stronach próbki. Do tego wykorzystuje się urządzenie zwane
przepuszczalnomierzem (Rys. 6). UrzÄ…dzenie to zbudowane jest z komory
pomiarowej i zbiornika utrzymującego stałe ciśnienie. Do zbiornika w sposób ciągły
doprowadzana jest ciecz. Zbiornik wyposażony jest w przelew, dzięki któremu
można utrzymać stały poziom cieczy w zbiorniku. W komorze pomiarowej
zamocowana jest próbka materiału porowatego, przez którą przepływa ciecz.
Nadmiar cieczy usuwany jest z komory za pomocÄ… przelewu.
Podczas wykonywania pomiarów tą metodą mierzymy objętość wody V
jaka przepływa przez próbkę o grubości L i powierzchni poprzecznego przekroju
A w czasie t . Wysokość "h oraz pole przekroju A są wielkościami znanymi.
Współczynnik K wyznacza się z prawa Darcy danego wzorem (15). Biorąc pod
uwagÄ™, że V = QÅ"t ze wzoru (15) otrzymujemy
VL
K =
.
At"h
2.2 Metoda ze zmiennym ciśnieniem cieczy
14
Schemat stanowiska do pomiaru metodą zmiennego ciśnienia przedstawia Rys.8.
po
zX
h
pA
zA
A
L
po
zB
B
pB
Rys.8.
Cechą charakterystyczną tej metody jest to, że w trakcie pomiaru różnica
wysokości hydraulicznych "(t) = H (t)  H , wymuszające przepływ płynu przez
A B
warstwę porowatego materiału ulega zmianie. W rezultacie zmienia się również
wydatek Q(t) przepływającej cieczy.
Równanie (13) przepływu Darcy w takim przypadku przyjmuje postać
"H (t)
(22) Q(t) = K A
L
gdzie
"(t) = H (t) - H
A B
Biorąc pod uwagę, że wysokość hydrauliczna H nad warstwą porowatego
A
materiału określana jest wzorem
15
pA po + Á g(ZX - ZA ) po
Ä™ = + ZA = + ZA = + ZX ,
Á g Á g Á g
natomiast wysokość hydrauliczna H pod warstwą wynosi
B
pB po + Á g(ZX - (h(t) + ZB)) po
B = + ZB = + ZB = + ZX - h(t)
,
Á g Á g Á g
dla różnicy "(t) otrzymamy
(23) " (t) = h (t) .
PodstawiajÄ…c (23) do (22) mamy
h(t)
(24) Q(t) = KA .
L
Z drugiej strony o wydatku przepływu cieczy przez porowatą warstwę decyduje
szybkość ruchu powierzchni cieczy w rurce pomiarowej. Przyjmując, że pole
przekroju tej rurki wynosi a , wydatek cieczy będzie określony wzorem
d h
Q = -a
(25) .
d t
Uwzględniając wyrażenie (25) z prawa Darcy (24) otrzymamy wyrażenie
dh A h
= -K
(26)
dt a L
16
opisujÄ…c ruch powierzchni wody w rurce pomiarowej.
Rozwiązaniem równania (26) jest wyrażenie
ho A K
lnëÅ‚ öÅ‚ = (t - to)
(27) ìÅ‚ ÷Å‚
h a L
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie h jest wartością początkową wysokości h, którą zajmuje powierzchnia wody
o
w rurce w chwili t = t .
o
t-to
Pomiar czasu , w którym powierzchnia wody przemieści się z
ho
wysokości na wysokość h oraz zależność (27) umożliwiają wyznaczenie
przewodności hydraulicznej K . Przekształcając zależność (27) otrzymujemy
L a ho ,
K= lnëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(28)
t-to A h
íÅ‚ Å‚Å‚
a = Ä„d2 4
a po wprowadzeniu średnicy rurki pomiarowej d ( ) oraz średnicy
A = Ä„D2 4
komory pomiarowej D ( ) wyrażenie (29) przyjmuje postać
L d2 ho
ëÅ‚ öÅ‚.
(29)
K= ln
ìÅ‚ ÷Å‚
t-to D2 h
íÅ‚ Å‚Å‚
Jeśli wielkości L , ho , h , d , D wyrazimy w centymetrach [cm], a czas w
sekundach [s], wówczas przewodność hydrauliczna określona będzie w jednostkach
[cm/s].
Wykorzystując zależność (21) możemy określić wartość przepuszczalności k.
Wielkość ta dana będzie wzorem
µ
k= K
(30) .
Ág
17
W układzie SI jednostką podstawową przepuszczalności jest m2. Jednak dla ciał
porowatych jest to jednostka zbyt duża i dlatego stosuje się inną jednostkę zwaną
darcy [Da]. Za przepuszczalność równą 1 Da uważa się przepuszczalność takiego
ośrodka porowatego, przez którego próbkę o powierzchni przekroju 1 cm2 = 10-4
m2, ciecz o lepkości 10-3 Pa s , pod wpływem gradientu ciśnienia 9.8 10-4 Pa/m
przepływa z natężeniem 10-3 m3/s . Jednostka przepuszczlności 1 Da jest w
przybliżeniu 1012 razy mniejsza od jednostki przepuszczalności 1 m2. Np.
przepuszczalność 1 Da ma kapilara o promieniu r = 2.8 10-6 m , a
przepuszczalność skał roponośnych i gazonośnych leży zazwyczaj w granicach 10-
15 - 10-12 , a więc od kilku milidarcy do kilku darcy.
Zależność pomiędzy przepuszczalnością k i przewodnością hydrauliczną K
dana wzorem (30) w przypadku wody (µ= 10-3 Pa s , Á = 103 kg/m3 , g = 9.81
m/s2) przyjmuje postać
k H" 10-7 K .
3. STANOWISKO DO POMIARU PRZEPUSZCZALNOÅšCI
ZIARNISTYCH MATERIAA
ÓW POROWATYCH METOD

ZMIENNEGO CIÅšNIENIA
Schemat stanowiska do wyznaczania przepuszczalności ziarnistych
materiałów porowatych przedstawia się na rys. 9. Zasadniczą część stanowią: dwie
szklane rurki o różnych średnicach, zawór kulkowy oraz dwie kolby wraz z
zestawem elastycznych rurek i ręczną pneumatyczną pompką. Zawór kulkowy,
którego zadaniem jest blokowanie strumienia spływającej grawitacyjnie cieczy,
pełni również rolę łącznika pomiędzy cieńszą rurką pomiarową umieszczoną
powyżej zaworu, a grubszą rurką tworzącą komorę pomiarową umieszczoną
poniżej zaworu. W rurce znajdują się szklane kulki tworzące warstwę materiału
18
porowatego. Dolny koniec komory rurki umieszczony jest w szczelnie zamkniętej
kolbie wypełnionej badaną cieczą. W kolbie tej umieszczono także rurkę
przelewową. Ten koniec rurki zamknięty jest drucianą siateczką o otworach
mniejszych niż średnica kulek utrzymującą je we wnętrzu komory. Cienka rurka
pomiarowa spełnia rolę pola do odczytu szybkości opadania poziomu badanej
cieczy, znajdującej się w jej wnętrzu. Kolba druga pełni rolę przyrządu
zalewowego. Dzięki niej można w prosty i szybki sposób napełnić rurkę pomiarową
badaną cieczą. Wykorzystuje się w tym celu nadciśnienie wytwarzane przez
pompkÄ™ pneumatycznÄ….
19
20
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Przygotowanie stanowiska pomiarowego
Pierwszym etapem przygotowania układu pomiarowego do badań jest
napełnienie komory pomiarowej (grubsza rurka) wypełnionej nasyconym wodą
materiałem ziarnistym. Aby zapewnić całkowite nasycenie porowatego materiału
napełniamy najpierw kolbę pomiarową wodą. Czynność tę należy przeprowadzać w
taki sposób, aby po zamknięciu kolby korkiem z umocowaną w nim komorą
pomiarową, wewnątrz kolby nie było powietrza. Następnie do komory pomiarowej
wsypujemy materiał ziarnisty tak, aby utworzona warstwa materiału porowatego
miała założoną grubość.
Taka kolejność postępowania zapewnia, że pomiędzy ziarnami utworzonej
warstwy materiału porowatego nie zostaną uwięzione pęcherzyki powietrza, które
zaburzałyby prowadzone pomiary.
KolbÄ™ wraz z osadzonÄ… w niej komorÄ… pomiarowÄ… Å‚Ä…czymy z rurkÄ…
pomiarowÄ… umocowanÄ… w statywie.
Kolbę urządzenia zalewowego napełniamy do połowy wodą i zamykamy
korkiem z którego wyprowadzony jest plastikowy wężyk. Drugi koniec wężyka
wkładamy do górnego końca rurki pomiarowej.
Opis procedury pomiarowej
Podstawową wielkością mierzoną przy wyznaczaniu przepuszczalności
materiałów porowatych metodą zmiennego ciśnienia jest czas opadania lustra wody
w rurce pomiarowej pomiędzy górnym i dolnym punktem pomiarowym.
Aby przeprowadzić pomiar czasu opadania lustra wody zamykamy zawór i
napełniamy rurkę pomiarową powyżej początkowego (górnego) punktu
pomiarowego. Następnie otwieramy zawór i w momencie gdy lustro wody
21
przekroczy początkowy punkt pomiarowy, włączamy stoper. Stoper zatrzymujemy
w momencie gdy lustro wody osiągnie końcowy (dolny) punkt pomiarowy. Po
przekroczeniu tego punktu zawór zamykamy. Zmierzony czas zapisujemy w tabeli
pomiarowej. Czynności pomiarowe powtarzamy trzykrotnie dla każdej granulacji
materiału ziarnistego.
W ramach ćwiczenia przewiduje się przeprowadzenie pomiarów przepuszczalności
dla trzech-czterech różnych granulacji materiału ziarnistego.
Wyznaczanie przepuszczalności
Przewodność hydrauliczną K materiału porowatego przy pomiarze metodą
zmiennego ciśnienia wyznaczamy na podstawie wzoru (29), który ma postać
L d2 ho
ëÅ‚ öÅ‚.
K= ln
ìÅ‚ ÷Å‚
t-to D2 h
íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawowe parametry stanowiska pomiarowego:
" średnica rurki pomiarowej d = 9 mm
" średnica rurki komory pomiarowej D = 16 mm
" grubość warstwy granulatu szklanego L = 100 mm
22
Tabela wyników pomiarów i obliczeń
Przewodność
Rodzaj
hydrauliczna
granulatu Nr Czas K Kśr
pomiaru [cm/s]
[cm/s]
Próbka I
Próbka II
Próbka III
Wykres zależności przewodności hydraulicznej K od średnicy kulek szklanych.
TREŚĆ SPRAWOZDANIA
1. Krótki opis stanowiska laboratoryjnego oraz metody pomiaru.
2. Zestawienie wyników - tabela i wykres.
3. Uwagi i wnioski.
23