Tematy zaliczeniowe wykładu
 Teoria sprężystości i plastyczności
III  BD, sem. 6, r.ak. 2005/2006
1. Podać założenia liniowej teorii sprężystości.
2. Co oznacza definicja: model teorii sprężystości ?
3. Podać różnice między modelami teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów.
4. Jak definiujemy obiekty: tensor o walencji dwa i tensor o walencji cztery ?
5. Pokazać transformację w układzie kartezjańskim tensorów o walencji jeden i dwa.
6. Jeśli mamy tensor a o walencji jeden to jaki tensor powstaje jeśli obliczamy drugie pochodne
tego tensora ?
7. Mamy symetryczny tensor pÅ‚askiego stanu naprężeÅ„ o skÅ‚adowych: Ãx = 20 MPa,
Ãy =  10 MPa, Äxy = 10 MPa. Obliczyć skÅ‚adowe tensora Ãx , Ãy , Äx y po obrocie ukÅ‚adu
współrzÄ™dnych o Õ = 300 i narysować je na brzegach obróconego, elementarnego kwadratu.
8. Dla pÅ‚askiego stanu naprężeÅ„ wykazać, że Äxy = Äyx.
9. Co oznacza określenie niezmiennik i jak definiujemy niezmienniki stanu naprężenia?
10. W yprowadzić wzór na kÄ…t obrotu Õ osi x, y przy przechodzeniu do kierunków głównych
napreżęń Ã1 , Ã2.
11. Znamy wartość naprężeÅ„ Ämax =  20 MPa i ÃÅ›r = 40 MPa. Obliczyć wartoÅ›ci naprężeÅ„
głównych dla odpowiednio obróconego elemenentarnego kwadratu.
12. Jak definiujemy naprężenia na płaszczyz
nie oktaedrycznej ?
13. Podać geometryczne interpretacje odksztaÅ‚ceÅ„ µy oraz Å‚xy.
14. Podać definicje aksjatorów i dewiatorów naprężeń i odkształceń oraz związek między nimi.
15. W yprowadzić równanie nierozdzielności
"2µy "2µz "2Å‚yz
+ = .
"z2 "y2 "y"z
16. Jakie składowe tensora odkształceń zerują się dla pola przemieszczeń u(x, y, z) = f1(y),
v(x, y, z) = f2(y), w(x, y, z) = f3(x) ?
17. Dla zadanego pola przemieszczeń:
u = 100 + 0.05 x2 + 0.2 y3 ,
v = 20 + 10 y2 + 0.05 y4 ,
w = - 200 + 0.1 y2z + 0.1 z3
napisać aksjator odkształceń w punkcie (1,0,1).
1
18. Dowieść, że możliwy jest stan odkształcenia w płaskiej tarczy, gdy elementy macierzy
odkształceń określają zależności:
a) µx = k (x2 + y2), µy = k y2, Å‚xy = 2 k xy;
b) µx = 4 (x2 + y2), µy = 2 y2, Å‚xy = 4 xy.
19. Obliczyć energię właściwą czystego zginania pręta prostokątnego o wymiarach b = 10 cm,
h = 50 cm, l = 200 cm, o staÅ‚ych sprężystoÅ›ci izotropowej G = 100 GPa , ½ = 0.1 dla zginania
momentem M = 20 kNm.
20. Ile niezależnych stałych sprężystości ma materiał ortrotopowy i napisać je dla głównych osi
ortotropii pokrywajÄ…cych siÄ™ z osiami x, y, z.
21 Napisać niezbędne wzory służące objaśnieniu twierdzenia o minimum energii potencjalnej.
22. Pręt pryzmatyczny o przekroju poprzecznym A , wykonany z materiału o module Younga E
i współczynniku Poissona ½ jest rozciÄ…gany siÅ‚Ä… osiowa P . Jak zmieni siÄ™ wÅ‚aÅ›ciwa energia
odkształcenia jeśli odkształcenia objętościowego jeśli siła rozciągająca powiększy się
dwukrotnie.
23. Belka o długości l i stałej sztywności na zginanie EI jest obciążona na końcach
momentami skupionymi M . Obliczyć całkowitą energię odkształcenia objętościowego i
postaciowego.
24. W pÅ‚askim stanie naprężenia znamy Ãx = 20MPa , Ãy = 0 , Äxy =  10 MPa. Obliczyć wartość
naprężenia zredukowanego za pomocą hipotez TG i HMH.
25. KorzystajÄ…c z ogólnych równaÅ„ teorii sprężystoÅ›ci obliczyć µz dla pÅ‚askiego stanu naprężenia
i Ãz dla pÅ‚askiego stanu odksztaÅ‚cenia objÄ™toÅ›ciowego jeÅ›li siÅ‚a rozciÄ…gajÄ…ca powiÄ™kszy siÄ™
dwukrotnie. 15 minutes on foot from the conference place
26. Dla tarczy prostokątnej odtworzyć obciążenia wybranych brzegów jeśli funkcja naprężeń ma
postać:
F = A (x2+y2), F = A x2y, F = A xy2, F = A (x2y+xy2), F =Ax3, F = Ay3
2
27. Dla podanych funkcji naprężeń odtworzyć obciążenia wybranych brzegów tarcz trójkątnych
F =Ax2, F = Ay2 , F = A xy2, F = Ay3
28. Jakie założenia stosujemy przy formułowaniu funkcji naprężeń ?
29. Dla rury grubościennej poddanej działaniu ciśnienia zewnętrznego napisać warunki brzegowe
dla swobodnego i nieprzesuwnego brzegu wewnętrznego. W arunki powinny odpowiadać
B
rozwiÄ…zaniu w przemieszczeniach: u = A r +
r
30. Tarcza koÅ‚owa jest zÅ‚ożona z materiałów o staÅ‚ych (E1 , ½1) , (E2 , ½2), rozdzielonych koÅ‚em o
promieniu c . Napisać warunki brzegowe oraz ciągłości dla przypadków obciążenia i
przesuwności brzegów jak w problemie 29.
31. Objaśnić pojęcia nośność sprężysta i nośność graniczna sprężysto-plastycznej ramy płaskiej.
32. Obliczyć plastyczne wskaz
niki plastyczności dla następujących przekroi poprzecznych.
33. Na przykładzie belki trzyprzęsłowej objaśnić obliczanie nośności granicznej metodą
kinematycznÄ….
34. Na przykładzie zagadnienia dwuwymiarowego podać definicje procesów plastycznie
biernych i aktywnych.
3