2740389302

Wzór (♦) nazywamy wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.

Uwaga

1.    Graficzna ilustracja tego twierdzenia, to drzewo probabilistyczne.

2.    Rozwiązując zadania metodą drzewa i rysujemy tylko istotne gałęzie, korzystamy z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym w następującej wersji:

Niech Q będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych,

P - prawdopodobieństwem określonym na wszystkich zdarzeniach losowych zawartych w Q oraz niech A będzie zdarzeniem losowym zawartym w Q.

Jeżeli H,,H₂,...,H_n są zdarzeniami losowym zawartymi w Q takim, że spełnione są

jednocześnie

trzy warunki:

1)    H, uH₂ u..,uH_n 3 A,

2)    H_j nH . =0dla i * j, gdzie i, j e l,2,...,n (zdarzenia H,,H₂,...,H_n sąparami rozłączne),

3)    P(H_i)>0 dla ie l,2,...,n .

Wówczas prawdziwy jest wzór

(♦) P(A) = P(Al H,)P(H,) + P(AI H₂)P(H₂)+... + P(Al H„)P(H_n)

Przykład 5. (schemat Polya)

W pojemniku jest b + c kul, b kul białych i c kul czarnych. Z tego pojemnika losujemy jedną kulę, zwracamy ją do pojemnika i dokładamy do pojemnika s kul koloru wylosowanego. Następnie losujemy jedną kulę z pojemnika, w którym jest teraz b + c + s kul. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim losowaniu.

Szkic rozwiązania

Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń:

B,    - w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę białą,

C,    - w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę czarną,

B, - w drugim losowaniu otrzymamy kulę białą.

Zdarzenia B,,C, spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, stąd P(B₂) = P(B, I B,)P(B,) + P(B₂ IC,)P(C,).

P(B,) = —, P(C,) = —, P(B, IB,)— ^{b + S} . P(B, IC,) —---.

b+c    b+c ‘ b+c+s ' b+c+s

Zatem

P(B₂) = -

b+c + s b + c b + c + s b + c b + c

- = P(B,).

Zadanie można rozwiązać za pomocą drzewa.

Można wykazać, że jeżeli będziemy powtarzali to doświadczenie tzn. będziemy zwracać kulę, dosypywać s kul koloru wylosowanego, losować, zwracać, dosypywać,...

13