2740389309

c) pierwszej komórce jest jedna kula i w drugiej jest jedna kula, takich rozmieszczeń jest 12 (na 3 sposoby wybieramy kulę do komórki pierwszej i na dwa sposoby wybieramy kulę do komórki drugiej i na 2 sposoby wybieramy komórkę dla trzeciej kuli, 3-2-2 = 12 albo na 2 sposoby wybieramy komórkę która będzie „zajęta” i rozmieszczamy 3 kule w 3 komórkach po jednej na 3! sposobów, 2-31 = 12).

Stąd |AnB| = 3+3 + 12 = 18. i P(AIB) = —.

Ciekawostki

Zakładamy, że wszystkie podane niżej prawdopodobieństwa warunkowe są określone, nie będziemy pisali założeń dla każdego przykładu oddzielnie.

Przykład 2.

(*) P(Al B) > P(A) <» P(B I A) > P(B), bo

P(AI B) > P(A) <» P(AnB) > P(A)P(B) <» P(B I A) > P(B).

Nierówność P(AI B) > P(A) interpretujemy w ten sposób, że zajście zdarzenia B zwiększa prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A Nierówność (*) jest sprzeczna z intuicją wielu osób, którym wydaje się, że jeśli zajście B zwiększa prawdopodobieństwo zajścia A, to zajście A zmniejsza prawdopodobieństwo zajścia B.

Przykład 3.

Jeżeli A,B,C są zdarzeniami takimi, że C <= AnB oraz P(B\ A) >0 (B\ A oznacza różnicę zdarzeń), to P(C I A) > P(C I AuB).

Nierówność ta wynika z równości C n A = C n Au B i nierówności P(A) < P(AuB) wynikającej z założenia P(B \ A) > 0.

Korzystając z tej nierówności widzimy, bez żadnych obliczeń, że w grze w brydża prawdopodobieństwo zdarzenia, że gracz X ma 4 asy, jeżeli wiemy, że ma asa pik, jest większe od prawdopodobieństwa, że gracz X ma 4 asy, jeżeli wiemy, że ma co najmniej jednego asa.

Ten fakt w końcu XIX wieku był przyczyną nieporozumienia między egzaminatorami na Wydziale Matematyki Uniwersytetu w Cambridge. Wiele osób, opierając się na intuicji, jest zdania, że prawdziwa jest nierówność „w drugą stronę”.

Paradoksy

Paradoks trzech komód

Są trzy komody A, B, C. W każdej z nich są dwie szuflady. W każdej szufladzie jest jedna moneta, przy czym w komodzie A w obu szufladach są monety złote, w komodzie B w obu szufladach są monety srebrne, a w komodzie C w jednej z szuflad jest moneta złota a w drugiej moneta srebrna. Wylosowano komodę, następnie szufladę i znaleziono w niej monetę złotą. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugiej szufladzie tej komody też jest moneta złota.

Typowa agitacja (błędna)

Na pewno nie wylosowano komody B. Są więc dwa przypadki, wylosowano komodę A albo komodę C. W przypadku komody A, w drugiej szufladzie jest moneta złota. W przypadku

5