2766503211

W zadaniu mamy do czynienia z problemem konsumenta. W sposób formalny problem zapisujemy następująco

1 1

max {x\ + x|}

10a;i + 9x2 = 90

Xl > 0,X2 > 0

Wprowadzamy funkcję Lagrange’a

L(x, A) = xf + x| — A(10xi + 9x2 — 90).

Wyliczamy pochodne cząstkowe

ix, ² —10A 2 ¹

^x₂^ — 9A 2 ²

—(10xi + 9x2 — 90)

OL

dx\

OL

dx2

dL

d\

oraz przyrównujemy je do zera. Rozwiązujemy tak powstały układ równań

{ix^* - 10A = 0 5X2 ² — 9A = 0 10xi + 9x2 — 90 = 0

Zaczynamy od wyliczenia A z pierwszego równania i podstawienia do drugiego

A — on 2-1

I _T~5 2^X2

10Xi + 9X2

20

90

Po uproszczeniu mamy

A

x₂

10xi + 9x2

rj, 2 81 ^Xl

= 90

Podstawiamy X2 do trzeciego równania i wyliczamy z niego Xi

A

x₂

J.*-*

fflg.

81 ^X1

90

Na koniec dostajemy

dodatni

\H\ =

(r	— 81 " A8>
	~ 19
czy wyznacznik hesjanu
o^2l	o^2l	o^2l
d\^2	d\dxi	d\dx2
d^2L	0^2L	OH
dxid\	dx	dx\ dx2
0^2L	aH	O^2 L
dx2dx\	dx\dx2	dx\

W naszym przypadku mamy

\H\ =

0 -10 -10 -ix^

-9    0

-9

0

>0.

Koszyk optymalny składa się z Xi = jednostek dobra pierwszego i X2 = ^ jednostek dobra drugiego.