3226794619

9. RZĄD MACIERZY - OBLICZANIE

R(A). ra — rząd macierzy A — rząd układu wektorów kolumnowych lub wierszowych tej macierzy = najwyższy stopień różnego od zera min ora tej macierzy. Jeżeli istnieją minory stopnia > R(A). to są one = 0, natomiast wszystkie minory stopnia < R(A) mogą być ^0.

Dla macierzy kwadratowej A stopnia n zachodzi: R(A) = n dla | A | *■ 0 lub R(A) < n dla | A| = 0. Macierz rzędu pełnego - macierz Am*™ spełniająca równość R(A) = min (/«,n).

Wyróżniamy macierz rzędu pełnego: wierszowego (R(A) = m) oraz kolumnowego (R(A) = n). Macierz nieosobliwa (A *0) jest jednocześnie macierzą pełnego rzędu wierszowego i kolumnowego.

Rząd macierzy schodkowej jest równy ilości wierszy niezerowych tej macierzy.

Rząd macierzy nic ulega zmianie w następujących przypadkach:

» przy mnożeniu wiersza (kolumny) przez liczbęk * 0

» przy dodaniu do wiersza (kolumny) liniowej kombinacji pozostałych wierszy (kolumn)

» przy dopisaniu lub skreśleniu wiersza (kolumny) złożonego z samych zer » przy przestawieniu wierszy (kolumn) macierzy = transportowaniu: R(A) = R(A^T)

A.    O. b I j cza n i e r z ę d u. m ą c i e r zy

Aby wyznaczyć rząd macierzy A należy rozpatrzyć wszystkie jej minory (podwy znaczni ki) stopnia nie większego od m lub n. Jeżeli choć jeden z nich jest * 0. to R(A) jest równy stopniowi tego niinora.

W praktyce bardziej celowe jest postępowanie odwrotne.

Wykonujemy przydatne przekształcenia elementarne (w celu uzyskania nuix. ilości zer) + znajdujemy na początek jakiś różny od zera pod wyznacznik stopnia k (|Ajt|*0) i dalej wystarczy zbadać wyznaczniki stopnia k+1 zawierające te wiersze i kolumny danej macierzy na przecięciu których znajdują się liczby tworzące wcześniejszy | Aa | * 0.

Jeżeli wszystkie |A*-i|= 0. to R(A) = k.

Często też posługujemy się przekształceniami elementarnymi na wierszach i kolumnach w celu uzyskania jak największej ilości zer (eliminowanie wierszy i kolumn zerowych) oraz macierzy trójkątnej {ewentualnie schodkowej), które ułatwiają obliczanie wyznaczników danych podmacierzy.

Przykład:

2	-4	3	1	0
1	-2	1	-4	2
0	1	-1	3	1
4	-7	4	-4	5

IA.I- \-2	= 0, |Ail	-4 3 A = -2 1 *°-	|a3| =	2 -4 1 -2 0 1
	2-431		2 -4	3 0
|A4| =	1-2 1-4 0 1-13	= 0, |A'4| =	1 -2 0 1 -	1 2 1 1
	4-7 4-4		4 -7	4 5

* o

Wszystkie minory lAd zawierające elementy minora IA3 1*0 są =0. więc najwyższym *0 minorem (podwyznacznikiem) jest | A31. Mamy więc R(A) = 3.

UWAGA! Rząd macierzy trójkątnej jest równy ilości iei niezerowych elementów diagonalnych. Prościej zatem wyznacza się rząd macierzy doprowadzonej za pomocą odpowiednich przekształceń elementarnych, do postaci trójkątnej.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-66-

w w w. ma tematyka. sosu o wiec.p l