3226794637

B.    ĄJ.9®bT3.i.ę.?.n3..^oni.kniętpść

Ciało algebraicznie domknięte - ciało, w którym każdy wielomian {stopniu > 0) ma pierwiastek. Każde ciało jest podciąłem pewnego ciała algebraicznie domkniętego.

Przykładowi) - ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte, ponieważ wielomian »v(.v) = x² + 1 nie ma w tym ciele pierwiastków.

Najmniejszym algebraicznie domkniętym nadciałem ciała liczb rzeczywistych jest ciało liczb zespolonych, ponieważ w zbiorze tym. każdy wielomian stopnia dodatniego ma pierwiastek zespolony (licz.by zespolone — patrz. str. 209).

Nie istnieją ciała skończone algebraicznie domknięte. Konsekwencją tego faktu jest istnienie ciał nieskończonych o skończonej charakterystyce.

Przykładem takiego ciała nurze być algebraiczne domknięcie ciała Z2.

Twierdzenie mówiące o tym, ze zbiór liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się "Zasadniczym twierdzeniem algebry" i pociąga liczne istotne konsekwencje, jak chociażby fakt. że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Przykłady: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych, ciało liczb zespolonych, ciało funkcji wymiernych, ciało Zp, ciało liczb p-adycznych Qp.

C.    Ciała. .skończone..-. Zn

Ciało skończone (ciało Galois) - ciało posiadające skończona ilość elementów.

Definiujemy zbiór:    Z„ = { 0. 1. ..., /i-l }. gdzie:    n - ilość elementów w zbiorze skończonym Z„

Założenia:    n e N. // £ 2,    Moc zbioru:    \z_n\ =11

gdzie:    0_n - dodawanie modulowane = reszta zdzielenia dodawania przez n\

®n-    Z_n X Z_n Z_n    (3, b)    3 b = (3 + b)_n

- mnożenie modulowane - reszta z dzielenia iloczynu przez n\

®_n:    Zn x Zn ^ Zn    (a, b)    a®nb=(a-b)n

Przykład:

Przykładem ciała o dwóch elementach jest zbiór Z2 = { 0,1} z następująco określonym dodawaniem i mnożeniem: 0 + 0 = 0, 0+ I =1, I +0= 1. I + 1=0;    0 -0 = 0.0- 1=6, 1-0 = 0, 1-1 = 1.

6. PODSUMOWANIE - OZNACZENIA

Oznaczenie	Nazwa
(G, *)	grupa z określonym działaniem *
(G.+. 0)	grupa z określonym działaniem: dodawaniem (+) i elementem neutralnym e = 0
(G, •,1)	grupa z określonym działaniem: mnożeniem (•) i elementem neutralnym e = 1
(K \{0}. *. 1)	grupa abelowa liczb rzeczywistych \ {()}, z określonym działaniem: (•) i elementem neutralnym e = 1
(P.+.^1)	pierścień z określonymi działaniami: (+) i (•)
(K. +. ■)	ciało z określonymi działaniami: (+) i (• )
(K.+.-.0.1)	ciało z określonymi działaniami: (+) i (•) oraz z elementami neutralnymi (+): e = 0 i (•): e = 1
(V. +. 0; K. +, ■, 0,1. •)	przestrzeń wektorowa V nad ciałem K z określonymi działaniami wewnętrznymi: (+) i (•), działaniem zewnętrznym (•), oraz elementami neutralnymi (+): e = 0 i (*): e = 1

© Copyright by Ewa Kędziorczyk

-228 -

w w w. ma tematyka. sosu o wiec.p l