6404671163

11

1.3. WIELOMIANY

Twierdzenie 1.1 mówi, że liczby zespolone C są ciałem algebraicznie domkniętym. (Przypomnijmy, że liczby rzeczywiste R nie są algebraicznie domknięte, bo np. równanie x² + 1 = 0 nie ma rozwiązań w R.)

Konsekwencją algebraicznej domkniętości C jest faktoryzacja (rozkład) wielomianu zespolonego na czynniki pierwszego stopnia. Dokładniej, stosując n-krotnie zasadnicze twierdzenie algebry oraz fakt, że jeśli £ jest pierwiastkiem wielomianu p to reszta z dzielenia p przez (• — £) jest zerowa, otrzymujemy rozkład

p(z) = a_n(z - zi)(z - z₂) • • • (z - z_n),    (1.4)

gdzie Zj, 1 < j < n, są pierwiastkami p. Zakładając, że tylko m pierwiastków jest parami różnych (1 < m < n), możemy równoważnie napisać, że

p(z) = a_n(z - Ui)^Sl(z - u₂)^S2 ■••(z- u_m)^Sm,

gdzie Ui ^ Uj o ile i ^ j, oraz J2JLi ^sj = ⁿ• Przy tym zapisie, Sj nazywamy krotnością pierwiastka Uj.

Załóżmy teraz, że współczynniki wielomianu p są rzeczywiste, aj G R, 0 < j < n. Załóżmy też, że p(£) = 0 i ^ ^ R. Wtedy £ ^ £ i

P(£) = it, ^a£ = it = Ż ^a3& = Ó = o,

j=0    j=0    j=o

tzn. jeśli £ jest pierwiastkiem to także liczba sprzężona £ jest pierwiastkiem; obie występują w rozwinięciu (1.4). Ale

(z - i)(z - 0 = z² - z(i + ?)+£? = z²-    + I4I²

jest trój mianem kwadratowym o współczynnikach rzeczywistych. Stąd wniosek, że wielomian rzeczywisty daje się rozłożyć na iloczyn czynników stopnia co najwyżej drugiego.