5038598786

Twierdzenie 7 (Hilbert Nullstelleiisatz). Załóżmy. ż< k k (k jt st algebraicznie domknięte). Wówczas dla dowolnego ideału J w k\x_x.....x„] mamy

I{V(J)) = y/j.

Głównym fragmentem dowodu twierdzenia Hilberta o zerach jest poniższy fakt.

Pakt 8. Niech k będzie ciałem i A K\a\.... ,o„j będzie, skończenie generowaną k-algebry. Wówczas, jeśli .4 jest ciałem, to rozszerzenie k C A jest algebraiczne.

Odnotujmy jeszcze twierdzenie i wniosek z niego, które często bywają użyteczne.

Twierdzenie 9. Niech k — k i niech J £ k\x\. .    Wówczas V(.J) ?=

0. Równoważnie, jeśli V(J) 0, to istnieją gi,...,g_t € fc|xi,____x_n] ora:

fi-----/,f J takie, że

tiifi + ■ ■ ■ 9./. = 1.

Wniosek 10. Każdy ideał maksymalny m C A-1j-j.....x_n| jest postaci m

(g-ai,...₁g-a_n) dla pewnego (a_l(...,a_T1) € kⁿ.

Wykażemy teraz równoważność ostatniego twierdzenia i wniosku.

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe. Wówczas istnieje punkt («i— .«„) € kⁿ taki. że (oj,... ,u_n) € ^(m). Niech / € m i znajdźmy wielomian g (piszemy jm> prostu x, = x, — a, + a, i rozwijamy względem nowej zmiennej) taki.

że <?(x! -ai----,x„ -fl„) = /(xi,...,x„). Z założenia f{ai,...,a,,) = 0, a

więc wyraz wolny wielomianu g jest równy zeru. co dowodzi, iż / € (xi

.....x„ - a_n), czyli m C (xi — ai,....x„ — «„). Z maksyinalności m mamy

m = (x i - oi.....x„ - a„).

Załóżmy prawdziwość wniosku i weźmy ideał właściwy ./ w A[x, — ,x„] Wówczas ./ c nr = (xi -ni,____x,i — «„) dla pewnego (<ji.....«_n) e kⁿ. Stąd wynika

łatwo (ni.....n„) (z V’(7).

Wywnioskujemy teraz twierdzenie Hilberta o zerach z ostatniego twierdzenia za pomocą słynnego t ricku Rabinowi tza.

Niech J ę A[xi.....x„] będzie ideałem (przypadek J = A-|xi.....x„] jest try

wialny) oraz weźmy / € /(V(./))• Rozważmy pierścień k[xj,...,x„, t] i ideał

(././/- 1) C A*[xt......r,,]. Załóżmy, ze istniej. . . . ,a_n,6) € V(J,tf - 1).

Wówczas («i.....a„) € V'(7) i 6/(ai,.. .,o„) — 1 = U, ale z definicji f\v(J) = 0.

oo jest sprzecznością. W takim razie V(J. t f 1) = 0. Z ostatniego twierdzenia istnieją g_x....., € A-(x_t.....x_n.f] oraz f_x.....takie, że

p,(x,,...,x_n,0/i(xi,...,x„) + ... + <?*(x,.....x„.t)f_M(xi.....x„)+

+J/*+l(Xi.....*fi,t)(f/(£i,...,*n) - 1) = 1-

Rozważając ostatnią równość w ciele funkcji wymiernych możemy podstawić / = 7. Wówczas

9\    fi + ... + </,    = 1.

2