3148972998

Wstęp

Zgodnie z twierdzeniem Drozda [Dr] skończenie wymiarowe łączne algebry z jedynką nad ciałem algebraicznie domkniętym K mogą być podzielone na dwie rozłączne klasy. Jedna z nich jest utworzona przez algebry oswojone, dla których dla dowolnej liczby naturalnej d prawie wszystkie nierozkładalne d-wymiarowe moduły tworzą (z dokładnością do izomorfizmu) skończoną ilość rodzin parametryzowanych przez elementy ciała K. Druga klasa jest utworzona przez dzikie algebry, dla których opis klas izomorfizmów skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów jest równoważny klasyfikacji skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych wraz z działaniem dwóch (niekoniecznie przemiennych) endomorfizmów. W związku z tym realnie oceniając można liczyć na sklasyfikowanie skończenie wymiarowych modułów tylko dla algebr oswojonych.

Problem typu reprezentacyjnego, a także klasyfikacja skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów w przypadku oswojonym, zostały w pełni rozwiązane dla algebr dróg skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli. Kołczanem nazywamy układ złożony ze zbioru wierzchołków i zbioru strzałek pomiędzy tymi wierzchołkami. Jeśli Q jest skończonym kołczanem bez zorientowanych cykli, to algebra dróg KQ kołczanu Q jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa, której bazę stanowią wszystkie drogi w kołczanie Q, wraz z mnożeniem indukowanym przez składanie dróg. Z twierdzeń Gabriela [Gal], Donovana-Freislich [DonFr] i Nazarowej [Na] wynika, że algebra KQ jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest rozłączną sumą kołczanów typu Dynkina lub Euklidesa. Powyższy fakt podaje pełny opis oswojonych skończenie wymiarowych algebr globalnego wymiaru co najwyżej jeden, ponieważ kategorie skończenie wymiarowych modułów takich algebr są równoważne z kategoriami skończenie wymiarowych modułów algebr dróg skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli [Ga2].

Z algebrami dróg kołczanów blisko związane są algebry odwrócone. Algebrą odwróconą nazywamy algebrę endomorfizmów A = Endkq{T) odwracającego AQ-modułu T, gdzie Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez

4