3148972999

Wstęp

zorientowanych cykli. Skończenie wymiarowy A"Q-moduł T jest odwracający, jeśli nie posiada samorozszerzeń i jest sumą prostą n parami nieizomor-ficznych nierozkładalnych KQ-modułów, gdzie n jest liczbą wierzchołków w kołczanie Q. Teoria reprezentacji algebr odwróconych zapoczątkowana pracami Bernsteina-Gelfanda-Ponomarjewa [BeGePo], Brenner-Butler [BrBu], Bongartza [Boni], Happela-Ringela [HaRi], oraz rozwinięta przez Ringe-la [Ri2], Kernera [Kel], [Ke2], Straussa [St], ..., odgrywa obecnie podstawową rolę w badaniu reprezentacji dowolnych skończenie wymiarowych algebr. Ważną cechą algebr odwróconych jest to, że są one globalnego wymiaru co najwyżej dwa. Wiadomo ponadto, zgodnie z twierdzeniem Brenner-Butler [BrBu], że jeśli A := End^-g(T) dla pewnego odwracającego KQ-modułu T, to każdy skończenie wymiarowy nierozkładalny A-moduł jest postaci Homkq(T,X) lub Ext^-q(T, X) dla pewnego skończenie wymiarowego nierozkładalnego ATQ-modułu X. Z drugiej strony jednak, aby otrzymać w ten sposób wszystkie skończenie wymiarowe nierozkładalne A-moduły, nie musimy wykorzystywać wszystkich skończenie wymiarowych nierozkładalnych A^-modułów, ^a więc może być „mniej” skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów niż skończenie wymiarowych nierozkładalnych AT(5-modułów. Oznacza to, że możemy w ten sposób otrzymać z dzikiej algebry dróg oswojoną algebrę odwróconą. Jest to jedna z przyczyn tego, że nasza wiedza na temat oswojonych algebr odwróconych jest jeszcze daleka od zadowalającej.

Warto jednak powiedzieć, że pewnych informacji na temat oswojonych algebr odwróconych dostarcza nam twierdzenie Kernera [Kel], które opisuje ogólną postać kołczanu Auslandera-Reiten tych algebr. Kołczan Auslandera-Reiten Ta skończenie wymiarowej algebry A jest ważnym niezmiennikiem homologicznym i kombinatorycznym kategorii skończenie wymiarowych modułów. Wierzchołkami kołczanu są klasy izomorfizmów skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów, zaś strzałki odpowiadają nieprzy-wiedlnym odwzorowaniom pomiędzy tymi modułami. Okazuje się, że w sytuacji oswojonych algebr odwróconych kołczan ten składa się ze skończonej ilości składowych preprojektywnych, skończonej ilości rodzin rur promieniowych indeksowanych prostą rzutową Pi (K) nad ciałem K, składowej łączącej, skończonej ilości rodzin rur kopromieniowych również indeksowanych elementami prostej rzutowej Pi (AT), oraz skończonej ilości składowych preinjektyw-nych.

Jeszcze dalej w opisie kołczanu Auslandera-Reiten algebr odwróconych idzie twierdzenie de la Pena [Pel]. Wiadomo bowiem, co pokazał Ringel [Ri2], że jeśli algebra A posiada wierny moduł kierujący, to jest odwrócona. De la Pena udowodnił, że jeśli założymy dodatkowo, że algebra A jest oswojona,

5