91104

Jest to możliwe, jeśli obiekt jest liniowy, stacjonarny i skończenie wymiarowy, tzn. jest opisany równaniami różniczkowymi liniowymi o stałych współczynnikach.

Transmitancja operatorowa jest definiowana dla zerowych warunków początkowych. Dokonajmy tym razem transformacji Laplace'a równania różniczkowego z ich uwzględnieniem. Zastosujemy oznaczenia ; y =u₂ oraz u=u,.

RC [_£r(s) -j>(o-)]+/(«) = U(s) Y(s) ■ (sRC +1) - RC ■ ^(o-) - Y(s)

Zauważmy, że w wyniku możemy wyróżnić część zależną wyłącznie od pobudzenia. Nosi ona nazwę odpowiedzi wymuszonej. Druga część wyniku zależy wyłącznie od stanu początkowego y(0) i nosi nazwę odpowiedzi swobodnej. Widzimy, że transmitancja pozwala jedynie określić zachowanie się układu w zależności od pobudzenia a nie uwzględnia warunków, w jakich układ znajdował siew momencie przed podaniem sygnału wejściowego.

Warunki te zostały wytworzone przez wielkości wejściowe działające wcześniej na układ. Można powiedzieć, że układ dynamiczny posiada swoistą "pamięć", w której przechowuje informację o poprzednich wielkościach wejściowych. Informację tę określamy mianem stanu układu (mówimy, że w momencie przed podaniem sygnału wejściowego układ miał określony stan). Informacja w układach dynamicznych gromadzona jest w postaci energii. W naszym przypadku energię w postaci ładunku elektrycznego gromadzi kondensator. Możemy powiedzieć, że stanem układu jest tu ilość ładunku zgromadzonego na nim. Jako że napięcie jest liniowo związane z ładunkiem (w układach liniowych, stacjonarnych Q=CU gdzie C=const.), możemy również określić mianem stanu napięcie na kondensatorze. Dla obwodów elektrycznych elementami gromadzącymi energię są kondensatory i cewki dlatego za zmienne stanu przyjmuje się najczęściej napięcia na kondensatorach i prądy w cewkach. Omawiany obwód elektryczny posiada jeden element gromadzący energię zatem i jedną zmienną stanu.

Opisem uwzględniającym stan początkowy jest opis za pomocą równań macierzowych łączących zmienne stanu procesu z sygnałami wejściowymi i wyjściowymi. Równania te mają następującą postać (dla układu opisanego zwyczajnym liniowym równaniem różniczkowym);

x(t) - Ax(t) * Bn(l) y(0 " Cx(0 + Dn(0 ₍₂₁₎

gdzie:

wektor

wektor

wejść,

wyjść.

u

y

x = wektor zmiennych stanu.

oraz A,B,C,D są macierzami. Jeśli przetniemy, że zmienną stanu omawianego układu jest napięcie x=i/;> (jednocześnie j_est to wyjście układu) a wejściem u=u,. możemy przekształcić równanie różniczkowe następująco;