3148972985

1.1. Algebry i moduły

Moduł M jest prosty, jeśli nie zawiera w sobie żadnego właściwego niezerowe-go podmodułu. Sumę wszystkich prostych podmodułów modułu M będziemy nazywać cokołem soc M modułu M. Radykałem rad M modułu M nazwiemy przekrój wszystkich jego maksymalnych podmodułów.

Niezerowy A-moduł P będziemy nazywać projektywnym, jeśli dla dowolnego epimorfizmu A-modułów f : M —> N oraz homomorfizmu g : P —> N istnieje homomorfizm h : P —» M taki, że g = fh. Jeśli M jest A-modułem, to epimorfizm / : P —*■ M będziemy nazywać nakryciem projektywnym, jeśli P jest modułem projektywnym oraz dowolny endomorfizm a : P —* P o własności f = f a jest automorfizmem. W powyższej sytuacji będziemy często mówić o module P jako o projektywnym nakryciu modułu M, gdyż, jak łatwo zauważyć, jest on wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. W kategorii mod A istnieją nakrycia projektywne.

Rezolwentą projektywną modułu M będziemy nazywać ciąg dokładny

---->    —»----* Pi P₀ -Ł+ M —* 0,

w którym moduły Pi, i E N, są projektywne. Powyższa rezolwentą jest minimalna, jeśli wszytkie homomorfizmy fi : Pi —> Im /*, i G N⁺, oraz homomorfizm g, są nakryciami projektywnymi. Jeśli powyższa rezolwentą jest minimalna oraz istnieje liczba naturalna d taka, że Pd ^ 0 i Pd+i = 0, to mówimy, że wymiar projektywny pd_A M modułu M jest równy d. W przeciwym wypadku jest on równy nieskończoność. Kres górny wymiarów projektywnych wszystkich A-modułów nazywamy wymiarem globalnym gl. dim A algebry A.

Wykorzystamy teraz rezolwenty projektywne do zdefiniowania grup rozszerzeń oraz grup torsyjnych. Niech M będzie A-modułem oraz

----* Pi -lU    —>----► P, P_a -U M —.0

jego minimalną rezolwentą projektywną. Niech ponadto fo : Po —* 0 będzie odwzorowaniem zerowym. Jeśli n jest liczbą naturalną oraz N jest A-modułem, to n-tą grupą rozszerzeń Ext^(M, N) modułu M przez moduł N będziemy nazywać grupę

Ker Hom,4 (/_n+i, N) / Im Hom^ (f_n,N).

Podobnie, jeśli L jest prawym A-modułem, to n-tą grupą torsyjną modułów L i M, oznaczaną Tor^(L, M), nazywamy grupę

Ker(Id_L <8u/_n)/ Im(Id_L <8u/_n+i).