zdjecie2

Twierdzenie o rozwiązaniach całkowitych.

Załóżmy, że w równaniu wielomianowym:

a„x" + a„-,xⁿ-' |... | aiX + ao §0

wszystkie współczynniki a„, a„.i, .... ao są liczbami całkowitymi i ao 4 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba całkowita, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego ao •

Twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych.

Załóżmy, że w równaniu wielomianowym postaci:

a„x" + a_ł,-ix"‘¹ + ... + aix + «o *=0

wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi oraz ao 4 O i a„ 4 0. Jeśli rozwiązaniem tego równania jest liczba wymierna, to można ją przedstawić w postaci ułamka |, gdzie licznik p jest dzielnikiem wyrazu wolnego ao, a mianownik q jest dzielnikiem współczynnika a„ przy nąjwyższej potędze.

Przykłady wielomianów 1. Wśród podanych wyrażeń algebraicznych znajdź wielomiany i określ stopień

każdego z nich.

^{a)    d)}ł*ⁱ⁺*^J

b)    TTt²⁰ + 3^-2    e) v^2x³ - 2

c)    3tfu-u    f) 1

TT

2. Korzystając ze wzorów skróconego postaci a„x" + a„-ix"^_I +... + a_tx + a₀.

a)    (5x³ + 4x)²

b)    (|x² -V2x⁵)²

c)    (x^?.+x⁴)³

d)    (ix*-3)^J

g) 3x⁵ + 2x'³ + l i) 2§>v + iw³

mnożenia, przekształć dany wielomian do

e)    (>x² ₊ l)(lx²-l)

f)    (3x⁴-2x)(3x⁴+2x)

i

h) (3V2-x)² + 3V2x(3x - V2)

3.    Oblicz wartość wielomianu dla podanej wartości zmiennej.

a)    2x³ - 3x² + 7 dla x = -l

b)    ^-|a^ł-2o dla a =2

c)    (i/+ 2) -(jśz-3) -1 dla /-O

d)    3(x-2)^s + (2x-l)^z dla x-l

e)    |p - 2x² - ^ dla x = -\/2

f)    (x-2V3 +1)³-2x dla x=V5-l

4.    Wykonąj działania i uporządkuj otrzymany wielomian.

a)    (2f + 6t² + 1) - (2r³ - f² + 3f - 2)    e) (2a -    1)(2 + 3a⁵)²

b)    (2x³ + 1) - [3x² + ^x⁴ - (x³ + ix² + 2)] 0 (2x -    5)* — <2x — l)²

c)    (2x³ + x²K2x³-x²) + (x² +    1 )³    g) (ix + 2)^J + (^-2x)

d)    y(5y² - 3y⁷ + 1 )(y³ - 3)    h) (x² -    1 )³ - (x² + 2)³

5.    Nie wykonując wszystkich działań, określ stopień podanego wielomianu,

a) (3x³ + 2x² - x)²    b) (2x³)⁵ - x¹    c) (x² - 2x + lXx< - x³)

6.    Określ, dla jakiej wartości a wielomian M'(x) Jest równy wielomianowi P(x), jeśli:

a)    M'(x) = (2x-l)²-3x(x-l). P(x)-ux²-x+ 1

b)    W(x) = 2x(5x³ - 4x² -1) - 5x³, P(x) ■= 10x⁴ + axⁱ - 2x

c)    W'(x) = (x²-5K3x² + x), P(x) = 3x⁴ + x³ + ax² - 5x

7.    Niech IV oznacza wielomian 3x^J +x² +1, P — wielomian x + 3, a Q — wielomian x² - 3. Uporządkuj wielomian:

a) IV+PQ    b)P²-Q    c)P-2Q-WP

8. Uporządkuj wielomian: a) (x²->/2-l)² b) (x² - 3x + 2)?

0 (x - 3)<

d) (v/J+2x)'^ł

1

Przekształć podany wielomian, korzystąjąc ze wzorów skróconego mnożenia.

a)    (3x^J - 2)(2 + 3x³)    d) 3(x² - 2x +1) - 2(x - l)²

b) (2x + >/Z)² - (2x - V5)²    e) (7 - 2x)²(7 + 2x)²

c) (2 - 7x)^J +(2 + 7x)³    0 (x - y3)³(x + \/S)³