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Damian Sierpiński Twierdzenie Liouville'a

Lemat 2

Załóżmy, to co powyżej, o funkcjach /),/ = 1,2,... ,n oraz wrońskjanie. Wówczas zachodzi: W' (x) = -ai(x)1V(x).

Dowód:

Skorzystamy z permutacyjnej definicji wyznacznika. Mamy więc:

yi.i - yi._n

W{X)=    .........

y,i.i - tt..,.

Po zróżniczkowaniu stronami otrzymamy:

^n(o)yi_><T(1)y2^(2)y3._<T(3) -

yri,«T(n)

W'U) = ( ^ ^n(<x)y| <,(,) y₂.a(2)y3/x(3) ••• ynjr(n)

\<T€S„

=    ^S9ⁿ^)iy\.a{\)y2.o{2)y^a{i)-yn.a{n))'

aes„

Co po zastosowaniu lematu 1 daje nam:

U) = Yj ^S9ⁿ(^ffXy\.o(l)y2.a(2)y3.a(3) •..y»._<r(r,))' =

<res„

sg»w (y',_Mt)yi^2)y3M3)-y-Mn)+yi.owy^.^y^)    + -

(xe»_n

w

-1

<y(n)

+ —

+ yi^(i)y2/T(2)y3.<r(3) -=

= ^ ^n(<r)y'_1/y(1)y_{2 <y(2})y3_<T(3₎ ...y_n#<y(n) + ^ ^n(<T)y_li<Kl)y^,2 <T(2)y3_><T(3) ...y_n<

ff€S_n    <T€S_n

+ V s^n(<r)y_1><y(1)y_2/T(2)y_3><T(3₎

njtr(n)

/;w	A'W	... A'U)		AU)	AU)	AU)
A'U)	0)	... /„'U)		A" U)	A" U)	... A" U)
A"U)	a"u)	A" U)	+	A" U)	A" U)	... A" U)
A^(nJl)U)	A^(nJl)u)	I A^(n-^7)M		A^(r,_1)U)	A^(n_1)U)	I /„‘-‘V)

AU)

A'W

AU)

/,w

AU)

A⁽”’^2>U) /₂^(,"²⁾(x)

r(n)	« /2^00U)	f(n) ... /ii	U)
AU)	M*) ...	AU)		AU)	AU)	... AU)
A'U)	fl*) -	AU)		A'U)	AU)	... AU)
A^(n_’^2)U)	/2^(n-^7,(*) I	fn^n~*\x)		A^("-’^2)U)	aT^u)	I /n"~^2)U)
A°°U)	/2^(n)« ...	A^(n)U)		A^(n)U)	A^(n)U)	... A^(,°U)

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