3307665869

Si(/3) do obustronnego testu \l ^na występowania nad- lub podrozproszenia. W przypadku, gdy zależy nam jedynie na zbadaniu istnienia nadrozproszenia tak jak stanowią hipotezy (16) i (19), powinno się użyć statystyki S2($) do jednostronnego testu Xv Opierając się na nim, możemy odrzucić model Poissona na poziomie istotności a, jeżeli 52 (/3) jest większe od 100(1 — a)-tego percentyla standardowego rozkładu normalnego. Test ten zostanie szerzej zaprezentowany w rozdziale 5.

3.2 Mieszany model Poissona

Inną modyfikacją rozkładu Poissona jest mieszany rozkład Poissona, również charakteryzujący się własnością nadrozproszenia. Otrzymuje się go poprzez przemnożenie pierwotnego parametru przez zmienną losową, co nakłada na niego efekt losowy będący skutkiem indywidualnej tendencji każdego kierowcy do powodowania wypadków. Wartość oczekiwana tej zmiennej losowej musi być równa 1, aby nie zmienić średniej całego rozkładu, a jedynie wpłynąć na jego strukturę w celu lepszego dopasowania do danych rzeczywistych.

Definicja 1

Zmienna losowa N ma mieszany Poissona z parametrem A oraz poziomem ryzyka 0 [E[Q] — 1), co oznaczamy N ~ MPoiss(A, 0), jeżeli jej funkcja masy prawdopodobieństwa ma postać

P[N = k} = B\p(k; A0)] = jf” exp

gdzie:

k=0,l,... - liczba roszczeń zgłaszanych przez klientów przy uwzględnieniu rozkładu warunkowego 0,

0 - nałożony efekt losowy będący dodatnią zmienną losową,

F® - dystrybuanta względem zmiennej losowej 0.

Własności mieszanego rozkładu Poissona:

•    Wartość oczekiwana

E[iV] = B[B[iV|e = 0]1 = /” f> exp(-A9)^dF_e(D) =

^J0 k=0    ^K■

= 1 exp(-A0) ^ E ^dpe(^s) = / exp(-A9)(il —'j^dFeW = = J°°exp(-\0)[(\e)exp(\6)]dF_e(8) = J°° \8dF_a(8) = \E[G) = \.

•    Wariancja

S[JV’] = r°(AS+A ²G²)iF_e(e) = AMel+A^te²].

Jo

Var[N] = £[IV²]-(£[./V])² = A£[0]+A²£[0²]-A²(£[iV])² = A+A²I/ar[0].

18