4037602961

12 2. Interpolacja

Rysunek 2.1: Przykład funkcji f{x) danej jedynie w dyskretnych wartościach.

nałożyć szereg innych warunków tak, aby spełniała ona pożądane właściwości, często zakłada się różniczkowalność tej funkcji w węzłach.

Aby wielomian w(x) interpolował funkcję f(x), konieczne jest rozwiązanie układu n+ 1 równań (zn+1 niewiadomymi Cj) wynikających z (2.1) i (2.2). W formie macierzowo-wektorowej jest to:

’«o(®o) + Si(*o) + ■	• + s»(*o)'	ao		7(*o)'
Sofai) + Si(a:i) + •	■ + Sn(ai)	ai	-	ń^x o
«<>(*») + si(x„) + •	• + Sn(xn)_			f(^Xn).

gdzie Si(x), i = 0,1,..., n stanowi dowolną bazę wielomianów.

Zanim zdefiniujemy konkretne metody interpolacji podamy niezbędne informacje o wielomianach. Wielomianem n-tego stopnia nazywamy funkcję postaci:

w(x) = aoxⁿ + a\xⁿ~^l + • • • + a_n.    (2.4)

Użyteczność wielomianów w metodach numerycznych wynika z faktu, że wielomianami możemy przybliżać (aproksymować) wszystkie funkcje ciągłe, opieramy się na słynnym twierdzeniu Weierstrassa:

Twierdzenie 2.1 Dla dowolnej funkcji f(x) ciągłej w przedziale [a; 6] i dowolnego