4130649703

Elementy teorii liczb: symbole Legendre’a i Jacobiego, liczby pierwsze i pseudopierwsze, testy pierw-szości.

Teoria ciał: rozszerzenia ciał, elementy algebraiczne i przestępne. Stopień rozszerzenia, twierdzenie o stopniach rozszerzeń. Ciało rozkładu wielomianu. Ciała skończone, reprezentacje elementów ciała skończonego. Automorfizmy ciał skończonych. Rozkład wielomianów na czynniki nad ciałami skończonymi. Twierdzenie Wedderburna.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin pisemny i ustny.

Literatura:

1.    A. Białynicki-Birula; Algebra. Bibl. Mat. t. 40, PWN, 1971.

2.    A. Białynicki-Birula; Teoria ciał. Bibl. Mat. 49, PWN, 1977.

3.    M. Ch. Klin, R. Poschel, K. Rosenbaum; Algebra stosowana dla matematyków i informatyków. WNT, 1992.

4.    N. Koblitz; Wykład z teorii liczb i kryptografii. WNT, 1995.

5.    R. Lidl, H. Niederreiter; Finite Fields. Addison-Wesley, 1983 (wyd. rosyjskie: Mir, 1988).

6.    A.Mostowski, M. Stark; Elementy algebry wyższej. Bibl. Mat.17, PWN, 1965.

Zbiory zadań:

1.    M. Bryński, J. Jurkiewicz; Zbiór zadań z algebry. PWN, 1981.

2.    A. I. Kostrykin (red. ); Zbiór zadań z algebry. PWN, 1995.

3.    J. Rutkowski; Algebra abstrakcyjna w zadaniach. PWN, 2000.

4.    K. Szymiczek; Zbiór zadań z teorii grup. PWN, 1989.

3.    Algebra 2 [ALG 652]

Specjalność    N+T+Z Poziom    5    Status    O

L. godz. tyg.    2W + 2    Ćw L. pkt.    7    Socr. Codę    11.1

Grupy: Działanie grupy na zbiorze, p-grupy, twierdzenia Sylowa, Grupy rozwiązalne. Grupy proste; prostota grup A{ń) dla n > 5. Twierdzenie o rozkładzie skończonej grupy abelowej na sumę prostą grup cyklicznych.

Pierścienie: Pierścienie noetherowskie, twierdzenie Hilberta o bazie. Pierścienie lokalne, lokalizacja pierścienia całkowitego względem ideału pierwszego. Relacja podzielności w pierścieniach całkowitych, NWD, NWW. Pierścienie z jednoznacznym rozkładem; jednoznaczność rozkładu w pierścieniu wielomianów. Pierścienie euklidesowe, algorytm Euklidesa.

Rozszerzenia ciał: Elementy algebraiczne, liczby algebraiczne. Twierdzenie o strukturze rozszerzenia prostego o element algebraiczny. Rozszerzenia algebraiczne. Ciało rozkładu wielomianu. Ciało algebraicznie domknięte, domknięcie algebraiczne ciała. Rozwiązałność równań przez pierwiastniki; równania stopnia < 4. Rozszerzenia przestępne.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin.

Literatura: zob. algebra 1.

4.    Algebra liniowa 1 [ALN 821]

Specjalność    I+N+T+Z    Poziom    2    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2 Ćw    L. pkt.    5    Socr. Codę    11.1

Przestrzeń liniowa, własności działań, przykłady. Podprzestrzeń przestrzeni liniowej; podprzestrzeń rozpięta na układzie wektorów. Suma algebraiczna oraz suma prosta podprzestrzeni.

Warstwy względem podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa.

Układy równań liniowych (cz. I), postać zbioru rozwiązań, równoważność układów, metoda eliminacji Gaussa.

Liniowa niezależność wektorów, baza i wymiar^- przestrzeni liniowej.

Rząd macierzy i jego własności. Wyznacznik macierzy i jego własności.

Układy równań liniowych (cz. 2), warunki rozwiązalności, twierdzenie Kroneckera - Capelliego, metody rozwiązywania układów liniowych.

Przekształcenia liniowe, własności i przykłady, zadawanie przekształceń liniowych poprzez wartości na bazie przestrzeni liniowej. Jądro i obraz przekształcenia liniowego.

Macierz przekształcenia liniowego i jej zależność od bazy (macierz przejścia i jej własności).

Przestrzeń przekształceń liniowych a przestrzeń macierzy.

Iloczyn macierzy i jego własności, macierze odwracalne, grupy GL(n,K) oraz SL(n, K).