5987093074

(b)    Aktualizacja kapitału z to na moment t₂ jest złożeniem aktualizacji z to na tj i z momentu tj na moment t₂:

K(t₂) = K(t₀)(l + r)^łl-‘°( 1 + r)^t2~¹'.

(c)    Model jest addytywny ze względu na kapitał, czyli jeżeli

A"(to) = E Kj(t₀) i Kj(t) = Kj(to){l + r)'-‘° dla j = 1,2,..., m

to    _m

A(t) = f JT_a(t₀)(l + r)^t-ł° = K(t₀)(l + r)^t-to. j=i

( K(to)e^ic<'¹ to)    dla t > to

\ K(to)e~^ic^°~^    dla t < t₀

Ten model jest tylko modelem formalnym dla f ^ Z bo zakładamy kapitalizację roczną. Aby mieć dokładny opis wartości kapitału w dowolnej chwili musimy posłużyć się kapitalizacją ciągłą, a więc stworzyć podobny model dla kapitalizacji ciągłej. Przyjmijmy zatem, że dana jest stopa nominalna oprocentowania rocznego z kapitalizacją ciągła i_c > 0 oraz kapitał na chwilę t₀: K(to). Podobnie jak dla kapitalizacji rocznej gdy t > to FV obliczamy jako oprocentowanie PV, a gdy t < to PV obliczmy dyskontując A^-(to) traktowane jako FV:

K(t) =

Stąd model dla kapitalizacji ciągłej

K{t) = A'(t₀)e^ic(‘-‘^o) dla t € R.

Jest to model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania ciągłego i_c.

Jeżeli przyjmiemy stopy równoważne oprocentowania rocznego r oraz oprocentowania ciągłego i_c, czyli takie, że

1 + r = e'^c

to otrzymamy identyczne modele, z tym, że model oprocentowania ciągłego lepiej odpowiada logice kapitalizacji w dowolnym momencie.

Praktycznie modele najczęściej są wykorzystywane gdy przyjmuje się to = 0, wtedy K(t) = A(0)(1 + r)‘ lub K(t) = K(0)e^ict

przy założeniu, że stopy r i i_c są równoważne. Model wartości kapitału w czasie jest wykorzystywany do wyceny rent, modelowania spłaty długów i analizy inwestycji finansowych. Ma także zastosowania bezpośrednie.

Przykład. Koszty produkcji pewnych towarów modeluje funkcja v?(t), gdzie t to czas w latach (przyjmijmy, że funkcja kosztów jest ciągła), czyli <p(t) określa koszt poniesiony dokładnie w chwili f. Łączne koszty poniesione w pewnym okresie: [0, T] to oczywiście suma kosztów ponoszonych w każdej chwili tego okresu, czyli całka:

j <p{t)dt.

Tak byłoby w istocie gdyby kapitał nie zmieniał się w czasie. Jednak tak nie jest, a więc gdy okres jest długi to trzeba uwzględnić zmiany kapitału, a więc koszty uaktualnić na ten sam moment T, czyli funkcję kosztu zastąpić funkcją ip(t)(l+r)^T~^t (koszty z każdej chwili aktualizujemy na moment T - koniec okresu). Zatem łączny koszt na moment T jest równy

*(T) =