7696131552

B. Metoda, .macierzy od w r.otne].-. .układy. M.n

Dotyczy tylko układów kranierowskich (układ n równań o n niewiadomych), w których macierz A współczynników przy niewiadomych jest kwadratowa oraz det A * 0 <S> istnieje A"'.

Mnożąc obustronnie układ macierzowy przez A^- \ otrzymujemy równanie postaci: X = A"¹ • B.

A • X = B o X = A¹ B

Rozwiązujemy otrzymane równanie wykonując mnożenie macierzy, tzn.: A" ¹ • B.

C. Metpd.a.mącier.zpwą.-

Postać ogólna układu m równań liniowych o n niewiadomych:

Postać wektorowa:

Postać uproszczona:

<1,1*1 + ^ai2^x2 + ... + ^ain^Xn =    dla

i = 1,2, ...,m

dla

i = 1,2 ,...,771 j = 1,2, ...,n

(^an^xi + a12x2 + ■■■ + alnxn = b2	^ail ^ai2 ^ai?l		*1-		r*i
1 a21xx + a22x2 + ••• + a2nxn = b2 0	^a21 ^a22 ^a2n	•	^X2	=	b2
(amlx1 + am2x2 + ■■■ + amnxn = bm	&ml &m2 ®mn.		■ ^Xn ■		■bm.

Postać macierzowa powyższego układu równań liniowych:    a x = B

oraz rozwiązanie które może być: ogólne (np. z, parametrem) lub szczególne (dokładne):

{x₁=a_lf x₂ = a₂. ..., x_n = a_n) => xeRⁿ

Ogólnie układ rów mm liniowych może mieć: niewiadomych więcej niż równali (n > ///), niewiadomych tyle co równań (n = m). niewiadomych mniej niż równań (n < m).

		^aL2	-■ ^am	b i
U = [A| B] =	^a21	^a22	-■ ^a2n :	b2 i
	^aml	^(Xm2		bm

U -macierz blokowa (klatkowa) u zup dni o na (rózdze rz.ona) układu m równań liniowych o n niewiadomych

Rozwiązanie układu - w wyniku przekształceń elementarnych na wierszach macierzy blokowej U otrzymujemy macierz trójkątną pozwalającą na dokonanie analizy rozwiązań układu, a następnie rozwiązujemy powstały równorzędny uproszczony (bazowy) układ równali.

A nal iza roz w i azaii (tw. Kran eckera - Ca u e Ile no):

1)	R(A) = R(U) = n	<s>	istnieje jedno rozwiązanie [układ oznaczony)
2)	R(A) = R(U) < n	<*>	nieskończenie wiele rozwiązań [układ nie oznaczany) zależnych od // - R(A) parametrów
3)	R(A)*R(U)		brak rozwiązań [układsprzeczny)

Jeżeli wszystkie wyrazy wolne bt = 0, to układ jest jednorodny, jeżeli choć jedno bt& 0. to układ jest niejednorodny. Układ jednorodny jest układem zgodnym (zawsze ma rozwiązanie zerowe oraz może mieć również rozwiązania niezerowe).

Analiza rozwiązali układu jednorodnego (tzn. gdy bt = 0):

1) R(A) = /z    <o>    jedno rozwiązanie trywialne (zerowe) postaci: xi = X2 = ... = x„ = 0

2) R(A) < n    <o>    jw. + istnieje tez rozwiązanie nietrywialnie (niezerowe)

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-77-

w w w.malenia tyka.sosnowiec.pl