ÿþG r u p y p u n k t o w e
m o |l i w e w k r y s z t a Ba c h k o m b i n a c j e
m a k r o s k o p o w y c h e l e m e n t ó w s y m e t r i i
p r z e c i n a j c y c h s i w j e d n y m p u n k c i e
M o r f o l o g i a m o n o k r y s z t a Bu
M o r f o l o g i a k r y s z t a Bu
j e s t z g o d n a z j e g o
g r u p p u n k t o w .
1
P u n k t y r ó w n o w a |n e ( s y m e t r y c z n i e )
A b y d a n y k r y s z t a B m i a B r z e c z y w i [c i e s y m e t r i
t a k j a k p u s t a k o m ó r k a e l e m e n t a r n a , a t o m y w
n i e j s i z n a j d u j c e m u s z b y w o d p o w i e d n i c h
m i e j s c a c h .
M a c i e r z e s y m e t r i i s b a r d z o p r z y d a t n e d o
w y z n a c z a n i a p o Bo |e D p u n k t ó w s y m e t r y c z n i e
r ó w n o w a |n y c h .
P u n k t y r ó w n o w a |n e ( s y m e t r y c z n i e )
P r z y k Ba d : w k r y s z t a l e i s t n i e j e o [ 4 x . N a j p i e r w ,
n a l e |y u t w o r z y m a c i e r z p r z e k s z t a l c e n i a :
1 0 0
¡# ¤#
¢#0
4 x = 0 - 1 ¥#
¢# ¥#
¢#
£#0 1 0 ¥#
¦#
W k r y s z t a l e z n a j d u j e s i a t o m w p o Bo |e n i u x y z .
G d z i e j e s z c z e m u s z b y t a k i e s a m e a t o m y ?
2
P u n k t y r ó w n o w a |n e ( s y m e t r y c z n i e )
P o Bo |e n i a w s z y s t k i c h p u n k t ó w r ó w n o w a |n y c h
o t r z y m a m y d z i a Ba j c m a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
n a p u n k t x y z i k o l e j n e p u n k t y r ó w n o w a |n e t a k
d Bu g o , a | w r ó c i m y d o p u n k t u w y j [c i a .
1 0 0 x x
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤#
1 0 0 x x
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤#
¢#0 0 - 1 ¥# " ¢#y ¥# ¢#
¢#0 0 - 1 ¥# " ¢# ¥# ¢# ¥#
=
= z
¢# ¥# ¢# ¥# ¢#- z ¥#
¥#
¢# ¥# ¢#- y ¥# ¢# ¥#
¢#
¢# ¥#
£#0 1 0 ¥# ¢# ¦# £# ¦#
¦# £#z ¥# ¢# y ¥#
£#0 1 0 ¥# ¢#- z ¦# ¢#- y ¥#
¦# £# £# ¦#
1 0 0 x x
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤#
1 0 0 x x
¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤#
¢#0 0 - 1 ¥# " ¢# ¢# ¥#
¢#0 0 - 1 ¥# " ¢# ¥# ¢#y ¥#
=
z =
¢# ¥# ¢#- z ¥# ¢#- y ¥#
¥#
¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥#
¢# ¥#
¥# ¢#
£#0 1 0 ¥# ¢# y ¥# ¢#- z ¦# ¢# 1 0 ¥# ¢#- y
¦# £# ¦# £#
£#0 ¦# £# ¦# £#z ¥#
¦#
P u n k t y r ó w n o w a |n e ( s y m e t r y c z n i e )
z
x - z y
x y z
y
x z - y
x - y - z
3
G r u p y p u n k t o w e
W t e n s p o s ó b m o |n a ( t r z e b a ) p r z e b a d a
w s z y s t k i e m o |l i w e g r u p y p u n k t o w e .
G r u p y p u n k t o w e : n o m e n k l a t u r a w
s y s t e m i e m i d z y n a r o d o w y m
m j e s t p r e f e r o w a n e w z g l d e m 2 ;
P Ba s z c z y z n a z w i e r c i a d l a n a p r o s t o p a d Ba d o o s i
s y m e t r i i 2 / m ;
J e [l i i s t n i e j d w a n i e z a l e |n e z e s p o By p Ba s z c z y z n
z w i e r c i a d l a n y c h , t o z a p i s u j e s i t o j a k o m m ;
K o l e j n o [ s y m b o l i j e s t i s t o t n a , z g o d n i e z
r e g u Ba m i :
4
G r u p y p u n k t o w e : n o m e n k l a t u r a w
s y s t e m i e m i d z y n a r o d o w y m
U k Ba d P o z y c j a w s y m b o l u
k r y s t a l o g r a f i c z n y
1 2 3
t r ó j s k o [n y
j e d n o s k o [n y [ 0 1 0 ]
r o m b o w y [ 1 0 0 ] [ 0 1 0 ] [ 0 0 1 ]
t e t r a g o n a l n y i < 0 0 1 > < 1 0 0 > < 1 1 0 >
h e k s a g o n a l n y
r e g u l a r n y < 1 0 0 > < 1 1 1 > < 1 1 0 >
G r u p y p u n k t o w e : n o m e n k l a t u r a w
s y s t e m i e m i d z y n a r o d o w y m
U k Ba d P o z y c j a w s y m b o l u
k r y s t a l o g r a f i c z n y
1 2 3
t r ó j s k o [n y 1 l u b 1
j e d n o s k o [n y 2 I I Y a l b o m ¥"Y a l b o 2 I I Y
i m ¥"Y
r o m b o w y 2 I I X a l b o m ¥"X 2 I I Y a l b o m ¥"Y 2 I I Z a l b o m ¥"Z
t e t r a g o n a l n y i g Bó w n a o [ s y m e t r i i I I Z 2 I I X l u b Y a l b o 2 I I [ 1 1 1 ] a l b o
h e k s a g o n a l n y a l b o g Bó w n a o [ s y m e t r i i m ¥"X l u b Y m ¥"[ 1 1 0 ]
I I Z i m ¥"Z
r e g u l a r n y 4 , 4 , 2 I I X , Y l u b Z , a l b o 3 I I [ 1 1 1 ] 2 I I [ 1 1 0 ] a l b o
m ¥"X , Y l u b Z m ¥"[ 1 1 0 ]
5
U k Ba d t r ó j s k o [n y
G r u p a p u n k t o w a : 1
x y z
z
x
y
z
U k Ba d t r o j s k o [n y
G r u p a p u n k t o w a : 1
x
1
2
y
p o c z t e k
2
x y z
- x - y - z ’!- x + a , - y + b , - z + c
6
U k Ba d t r ó j s k o [n y : p r o j e k c j e
s t e r e o g r a f i c z n e :
1
1
U k Ba d j e d n o s k o [n y
y
G r u p a p u n k t o w a : 2
( 2 I I Y )
2
1
2
x
z
x y z , - x y - z
- x y - z ’!- x + a , y , - z + c
7
U k Ba d j e d n o s k o [n y
2
G r u p a p u n k t o w a : m
1
x y z , x - y z
2
G r u p a p u n k t o w a : 2 / m
x y z , - x y - z , x - y z , - x - y - z
2
4 3
1
2
4
3
U k Ba d j e d n o s k o [n y : p r o j e k c j e
s t e r e o g r a f i c z n e :
m
2
2 / m
8
¡#- 1 0 0
¤#
¢#
m x = 0 1 0 ¥#
¢# ¥#
U k Ba d r o m b o w y
¢# ¥#
0 0 1 ¦#
£#
1 0 0
¡# ¤#
¢#0
m y = - 1 0 ¥#
G r u p a p u n k t o w a : m m 2
¢# ¥#
¢# ¥#
£#0 0 1 ¦#
p r z e k s z t a Bc e n i a s y m e t r i i : m ¥"X , m ¥"Y i 2 I I Z
¡#- 1 0 0
¤#
1 0 0 x x
¡#- 1 0 0 x x ¡# ¤# ¡# ¤# ¡# ¤#
¤# ¡# ¤# ¡#- ¤#
¢#
¢# ¢#y ¥# ¢# ¥# ¢#0 - 1 0 ¥# " ¢#y ¥# ¢# ¥# 2 z = 0 - 1 0 ¥#
¢# ¥#
0 1 0 ¥# " = y =
¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢#- y ¥#
¢# ¥#
0 0 1 ¦#
£#
¢# ¥# ¢# ¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥#
0 0 1 ¦# £#z ¥# £# z
£#z ¥# z
£# ¦# ¦# £#0 0 1 ¦# ¢# ¦# £# ¦#
1 0 0 x x
¡# ¤# ¡#- ¤# ¡#- ¤#
¡#- 1 0 0 x x
¤# ¡# ¤# ¡#- ¤#
¢#0 - 1 0 ¥# " ¢# ¥# ¢# ¥#
¢# ¢# ¥# ¢# ¥#
y =
0 1 0 ¥# " y = y
¢# ¥# ¢# ¥# ¢#- y ¥#
¢# ¥# ¢#- ¥# ¢#- ¥#
¢# ¥#
¢# ¥# ¢# ¥# ¢# ¥#
0 0 1 ¦# £# z z £#0 0 1 ¦# ¢# z ¥# ¢# z ¥#
£# ¦# £# ¦#
£# ¦# £# ¦#
U k Ba d r o m b o w y
G r u p a p u n k t o w a : m m 2
z
x y z , - x - y z , x - y z , - x y z
4
2
1
y
3
x
9
U k Ba d r o m b o w y
G r u p a p u n k t o w a : 2 2 2
x y z , x - y - z , - x y - z , - x - y z
4
1
3
2
1 0
U k Ba d r o m b o w y
G r u p a p u n k t o w a : m m m
x y z , x y - z , - x - y - z , x - y z
- x y - z , - x y z , - x - y z , - x - y - z
8
3
2
5
7 1 4
6
6
7
5
2
8
3
U k Ba d r o m b o w y : p r o j e k c j e
s t e r e o g r a f i c z n e
m m 2
m m m
2 2 2
1 1
U k Ba d r e g u l a r n y
3 o s i e 3 -
k r o t n e ( 4 )
M o |l i w e e l e m e n t y s y m e t r i i :
m 2 o s i e 2 -
m 4 o s i e 4 -
p l a s z c z y z n y k r o t n e ( 6 )
p Ba s z c z y z n y k r o t n e ( 3 )
p r z e k t n e ( 6 )
r ó w n o l e g Be
d o [c i a n
( 3 )
U k Ba d r e g u l a r n y
D u |o e l e m e n t ó w
s y m e t r i t o d u |o
p u n k t ó w
r ó w n o w a |n y c h
s y m e t r y c z n i e .
1 2
U k Ba d r e g u l a r n y : p r o j e k c j e
s t e r e o g r a f i c z n e p u n k t ó w
r ó w n o w a |n y c h
U k Ba d r e g u l a r n y : p r o j e k c j e
s t e r e o g r a f i c z n e
e l e m e n t ó w s y m e t r i i
1 3
W s z y s t k i e g r u p y p u n k t o w e
U k Ba d
k r y s t a l o g r a f i c z n y G r u p y p u n k t o w e
T r ó j s k o [n y 1 , - 1
J e d n o s k o [n y 2 , m , 2 / m
R o m b o w y 2 2 2 , m m 2 , m m m
T e t r a g o n a l n y 4 , - 4 , 4 / m , 4 2 2 2 , 4 m m , - 4 2 m , 4 / m m m
T r y g o n a l n y 3 , - 3 , 3 2 , 3 m , - 3 m
H e k s a g o n a l n y 6 , - 6 , 6 / m , 6 2 2 , 6 m m , - 6 2 m , 6 / m m m
R e g u l a r n y 2 3 , m - 3 , 4 3 2 , - 4 3 m , m 3 m
W s z y s t k i e g r u p y p u n k t o w e
U k Ba d r e g u l a r n y r o z p o z n a j e s i p o 3 - c e n a
d r u g i e j p o z y c j i ;
T e t r a g o n a l n y p o 4 - c e n a p i e r w s z e j p o z y c j i ;
T r y g o n a l n y i h e k s a g o n a l n y o d p o w i e d n i o p o 3 - c e
i 6 - c e n a p i e r w s z e j p o z y c j i ;
R o m b o w y i j e d n o s k o [n y t o 2 - k i i m , z t y m |e
r o m b o w y m a t r z y s y m b o l e ;
1 4
W s z y s t k i e p r o j e k c j e s t e r e o g r a f i c z n e
H i e r a r c h i a s y m e t r i i
1 5
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