cw02 2


Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
CAAKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE (CAAKOWANIE PRZEZ ZAMIAN ZMIENNEJ)
W niektórych przypadkach obliczenie całki f (x)dx może się uprościd, gdy wprowadzimy

pomocniczą zmienną, tzn. zastosujemy podstawienie x = j(t) (lub t = j(x)). Stosując formalny
ó
rachunek: dx = j (t)dt możemy napisad równośd
f (x)dx = f (j(t))j (t)dt, (0.1)
ó
gdzie po obliczeniu całki występującej po prawej, która będzie funkcją zmiennej t, podstawiamy
zmienną x wyliczoną z zależności x = j(t).
PRZYKAADY
2
1) Obliczyd przez podstawienie całkę xe-x dx.

W tym przypadku zastosujemy podstawienie t = x2. (Można też patrzed na tę zamianę jak na
podstawienie x = t. Oba podejścia dają oczywiście ten sam rezultat koocowy.) Obliczamy
1 1
ó
dt = (x2) dx = 2xdx dx = dt = dt.
2x
2 t
Mamy teraz
22
dt 1 1 1
-t
xe-x dx = xe-t = dt = (-e-t ) + C = - e-x + C.
e 2
2x 2 2
1
2) Obliczyd całkę dx.

sin x
W tym przypadku stosujemy specjalne podstawienie, które całkę typu
R(sin x, cos x)dx, gdzie
R(x1, x2) jest funkcją wymierną (iloraz dwóch wielomianów), sprowadzi do całkowania funkcji
wymiernej. Podstawienie to ma postad: t = tg x. Do wykonania tego podstawienie będą potrzebne
pewne tożsamości trygonometryczne, które są wyprowadzone poniżej. Bazują one na następujących
podstawowych zależnościach
sin(a ą b ) = sina cos b ą cosa sin b,
(0.2)
cos(a b ) = cosa cos b sina sin b.
W szczególności z powyższych wzorów otrzymujemy wyrażenie na tg(a ą b)
sin(a ą b ) sina cos b ą cosa sin b tga ą tg b
tg(a ą b) = = = . (0.3)
cos(a ą b ) cosa cos b sina sin b 1 tgatg b
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
W szczególności mamy
cos2 a - sin2 a cos2 a - sin2 a
cos 2a = cos2 a - sin2 a = = =
1 cos2 a + sin2 a
sin2 a
1-
1- tg2a 1- tg2 1 a
cos2 a 2
= = . Stąd: cosa = .
sin2 a 1+ tg2a 1+ tg2 1 a
2
1+
cos2 a
Podobnie
2sina cosa 2sina cosa
sin 2a = 2sina cosa = = =
1 cos2 a + sin2 a
sina
(0.4)
2
1
2tga 2tg a
cosa 2
= = . Stąd: sina = .
sin2 a 1+ tg2a 1+ tg2 1 a
2
1+
cos2 a
Ponadto przydatne będą tożsamości
sin2 a 1- cos2 a 1 1
tg2a = = = -1 => cos2 a = .
cos2 a cos2 a cos2 a 1+ tg2a
(0.5)
sin2 a sin2 a tg2a
tg2a = = , (1- sin2 a)tg2a = sin2 a sin2 a = .
cos2 a 1- sin2 a 1+ tg2a
1
Podstawienie t = tg x daje
2
1 1 1
dt = dx = dx,
cos2 1 x 2 2cos2 1 x
22
22dt
dx = 2cos2 1 xdt = = .
2
1+ tg2 1 x 1+ t2
2
1
2tg x 2t
2
Ponadto z (0.4) mamy sin x == , zatem
1+ tg2 1 x 1+ t2
2
1 1+ t2 2 1
1
dx = dt = dt = ln | t | +C = ln | tg x | +C.
2

sin x 2t 1+ t2 t
1
3) Obliczyd całkę dx.

1+ x2
1
W tym przypadku stosujemy podstawienie x = ctgt. Mamy dx =- dt. Ponadto
sin2 t
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
cos2t sin2 t + cos2t 1
1+ x2 = 1+ ctg2t = 1+ = .
sin2 t sin2 t sin t
Podstawienie jest dla t (0, p ), więc w ostatniej równości nie musimy pisad | sin t |. Mamy więc
1 -1 1
1
dx = t dt = - dt = -ln | tg t | +C. (0.6)
2
sin sin2 t
sin t
1+ x2
Ostatnia całka jest na podstawie punktu 2). Musimy jeszcze wrócid do pierwotnej zmiennej x.
Formalnie z równości x = ctgt mamy t = arcctg x co daje następujące wyrażenie na całkę
1
1
dx = -ln | tg arcctg x | +C,
2

1+ x2
ale wyrażenie to można zapisad prościej. Mamy bowiem
sin t sin t 1
1
tg t = = = =
2
cost +1
cost + sin2 t + cos2 t cost cos2 t
+ 1+
sin t sin2 t
11
== .
ctgt + 1+ ctg2 t x + 1+ x2
1
1
Stąd -ln | tg t |= ln = ln | x + 1+ x2 |. Ostatecznie otrzymujemy
2
1
| tg t |
2
1
dx = ln | x + 1+ x2 | +C.

1+ x2
dx dx
4) . Obliczenie tej całki sprowadza się do znanej całki
1+ x2 = arctg x + C. Ta druga całka
x2 + a2
1
ó
wynika oczywiście z pochodnej funkcji arcus tangens: (arctg x) = .
1+ x2
dx dx 1 dx
Całkę przepisujemy tak == i stosujemy podstawienie t = x / a.
2
x
x2
x2 + a2 a2 (a) +1
a2 a2 +1
( )
Mamy dx = adt, więc
dx 1 adt 1 dt 1 1 x
= = = arctgt + C = arctg + C.
22

x2 + a2 a2 t +1 a t +1 a a a
CAAKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
P(x)
Funkcją wymierna nazywamy funkcję postaci f (x) = , gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.
Q(x)
Interesowad nas będą tylko funkcje wymierne rzeczywiste, tak więc x oraz współczynniki
wielomianów P(x) i Q(x) są rzeczywiste. Oczywiście funkcja wymierna określona jest wszystkich
x z wyjątkiem miejsc zerowych wielomianu Q(x). Przykłady funkcji wymiernych
x 5x2 -3x + 6 -2x5 +1 2 1
, , , , , 4x5 + x -1.
x +1 x3 + x - 2 x2 +1 x3 -1 x
Zauważmy, że funkcja wielomianowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej.
P(x)
Obliczenie całki dx z funkcji wymiernej jest  w zasadzie możliwe pod warunkiem, że

Q(x)
potrafimy wyznaczyd pierwiastki wielomianu Q(x). Inaczej mówiąc całka ta wyraża się poprzez
funkcje elementarne oraz pierwiastki równania Q(x) = 0.
Aby obliczyd całkę funkcji wymiernej, rozkładamy ją na tzw. ułamki proste, które można już całkowad
w sposób elementarny. Ułamki proste są to wyrażenia wymierne następującej postaci
A Bx + C
, gdzie D = b2 - 4c < 0 oraz n,m . (0.7)
(x -a)m (x2 + bx + c)n
Pierwszy typ ułamków prostych całkuje się bardzo prosto:
A

(x -a)-m+1 + C, dla m >1,
A

dx =
-m +1


(x -a)m ln | x -a | +C,
dla m =1.

5 5 5
Na przykład dx = (x - 2)-4+1 + C = - + C.

(x - 2)4 -4 +1 3(x -3)3
Całkowanie ułamków prostych drugiego typu jest bardziej złożone. Po pierwsze warunek D< 0
oznacza, że wyrażenie x2 + bx + c nie ma miejsc zerowych (pierwiastków) i może byd zapisane
następująco
2
b -D
ć
x2 + bx + c = x + + , (0.8)

2 4
Ł ł
-D
gdzie składnik jest dodatni. Mamy więc
4
2
2
ć x + b ł

b -D -D
ć
ę 2 ś
x2 + bx + c = x + + ,= +1 . (0.9)

2 4 4
Ł ł ęŁ -D ł ś
2

Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
b
x + Bx + C
2
Stosując teraz proste, liniowe podstawienie t = sprowadzamy całkę dx do

-D
(x2 + bx + c)n
2
prostszej postaci
Bx + C Bx + C Dt + E
dx = dx = dt. (0.10)
n

2
(x2 + bx + c)n n (t2 +1)n
ć x + b ł

-D
ć
ę -D2 ś
+1

4
Ł ł ęŁ 2 ł ś

Dt + E
Jak widad jedyną trudnością którą teraz mamy jest obliczanie całki postaci dt. Całka ta jest

(t2 +1)n
sumą dwóch całek, przy czym jedną z nich oblicza się wprost
Dt + E t 1
dt = D dt + E dt =

(t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n
11
t
= D + E dt.

2(-n +1) (t2 +1)n-1 (t2 +1)n
Ostatnią całkę można  całkując przez części  sprowadzid do pewnej następującej zależności
rekurencyjnej
1 t2 +1 t2 1 t
In = dt = dt - dt = dt -
t (t2 +1)n dt =
(t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n-1
ćó t
11
= In-1 -

t Ł 2(-n +1)(t2 +1)n-1 ł dt = In-1 - 2(-n +1)(t2 +1)n-1 + tó 2(-n +1)(t2 +1)n-1 dt =
t 11 t 1
= In-1 - + dt = In-1 - + In-1 =

2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(-n +1) (t2 +1)n-1 2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(-n +1)
t 2n - 3
= - + In-1.
2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(n -1)
1
Ponadto mamy I1 = dt = arctgt + C.

t2 +1
Podsumowując mamy
t 2n - 3

+ In-1, dla n >1,
-
In = 2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(n -1) (0.11)

arctg t + C,
dla n =1.

PRZYKAADY
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
dx
1) . Możemy tę całkę obliczyd tak jak się wyprowadza zależnośd (0.11) lub po prostu

(x2 +1)2
skorzystad z tych wzorów.
dx x2 +1 x2 dx x
= dx - dx = - x dx =

(x2 +1)2 (x2 +1)2 (x2 +1)2 x2 +1 (x2 +1)2
1 1 1 1
ó dx = arctg x - xć
óć 1 1
= arctg x - xć - - + x - dx =


2 x2 +1 2 x2 +1 2 x2 +1
Ł ł Ł ł Ł ł
1 x 1 1 1 x 1
=arctg x + - dx = arctg x + - arctg x =

2 x2 +1 2 x2 +1 2 x2 +1 2
1 x 1
=+ arctg x.
2 x2 +1 2
dx
2) .

x3 +1
Dokonujemy rozkładu mianownika na czynniki nierozkładalne
x3 +1= (x +1)(x2 - x +1),
1
a następnie szukamy rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste postaci (0.7):
x3 +1
11A Bx + C
= = + .
x3 +1 (x +1)(x2 - x +1) x +1 x2 - x +1
Stąd mamy
1 A(x2 - x +1) + (Bx + C)(x +1) (A + B)x2 + (-A + B + C)x + (A + C)
== ,
x3 +1 (x +1)(x2 - x +1) x3 +1
co po porównaniu współczynników wielomianów z licznika daje
A + B = 0,


-A + B + C = 0,
A + C =1.

1 1 2
Rozwiązaniem tego układu jest A = , B = - , C = , zatem
3 3 3
1 1 2
1 - x + 1 1 1 -x + 2
3 3 3
= + = + ,
x3 +1 x +1 x2 - x +1 3 x +1 3 x2 - x +1
dx 1 dx 1 -x + 2 1 1
skąd = + dx = ln | x +1| + I. Dalej

x3 +1 3 x +1 3 x2 - x +1 3 3
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
-x + 2 -x + 2x dx
I = dx = dx = - dx + 2 =

1 3 1 3 1 3
x2 - x +1 (x - )2 + (x - )2 + (x - )2 +
2 4 2 4 2 4
4 x 8 dx
= - dx + .
22

3 x-11
3 x-
22
+1 +1
33
( ) ( )
22
1
x-
2 dx 3
Teraz stosujemy podstawienie t = , więc dt = , dx = dt. Zatem
3 3 2
2 2
33
1
4 t + 8 dt 4 3 t 4 3 dt 4 3 dt
2 2 3 2
I = - dt + = - dt - + =
2
2 2 2 2 2
3 t +1 3 t +1 3 4 t +1 3 4 t +1 3 t +1
ć
t 3 4 3 dt 1
= - dt + - + = - ln(t2 +1) + 3arctgt.

22


t +1 3 3 t +1 2
Łł
Wracając do  starej zmiennej x otrzymujemy
2
11
x-12
x-1
2 4 2x-1
I = - ln( +1) + 3arctg = ln(4 x2 - x + 2) + 3arctg + C.
33
( ) 3 3
22
223
Ostatecznie mamy
dx 1 1 3
4 2x-1
= ln | x +1| + ln(4 x2 - x + 2) + arctg + C.
3 3

3
x3 +1 3 6 3
ZADANIA
A) Obliczyd całki nieoznaczone
-7x
1) dx. 2) xeaxdx.
e
2
3
3) xdx. 4) 1- 5xdx.
sin
dx dx
5) . 6) .

x2 + 2x + 2 3 - 5x2
dx dx
7) 8) .
1+ sin x.
ex + e- x
B) Obliczyd podane całki z funkcji wymiernych.
x dx
1) . 2) .

2x2 - 3x - 2 x3 -1
x +1 dx
3) . 4) .

x3 - 4x x4 + x2 + 2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
instrukcja cw02
cw02
instrukcja TM cw02 ASM
cw02 impulsy przypadkowe
izs cw02
se cw02
C16 2005 cw02
cw02?
cw02 05
ELEKTRONIKA cw02
ELEKTRONIKA cw02
cw02
C16 2005 cw02
Cw02

więcej podobnych podstron