Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
CAAKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE (CAAKOWANIE PRZEZ ZAMIAN ZMIENNEJ)
W niektórych przypadkach obliczenie całki f (x)dx może się uprościd, gdy wprowadzimy
pomocniczą zmienną, tzn. zastosujemy podstawienie x = j(t) (lub t = j(x)). Stosując formalny
ó
rachunek: dx = j (t)dt możemy napisad równośd
f (x)dx = f (j(t))j (t)dt, (0.1)
ó
gdzie po obliczeniu całki występującej po prawej, która będzie funkcją zmiennej t, podstawiamy
zmienną x wyliczoną z zależności x = j(t).
PRZYKAADY
2
1) Obliczyd przez podstawienie całkę xe-x dx.
W tym przypadku zastosujemy podstawienie t = x2. (Można też patrzed na tę zamianę jak na
podstawienie x = t. Oba podejścia dają oczywiście ten sam rezultat koocowy.) Obliczamy
1 1
ó
dt = (x2) dx = 2xdx dx = dt = dt.
2x
2 t
Mamy teraz
22
dt 1 1 1
-t
xe-x dx = xe-t = dt = (-e-t ) + C = - e-x + C.
e 2
2x 2 2
1
2) Obliczyd całkę dx.
sin x
W tym przypadku stosujemy specjalne podstawienie, które całkę typu
R(sin x, cos x)dx, gdzie
R(x1, x2) jest funkcją wymierną (iloraz dwóch wielomianów), sprowadzi do całkowania funkcji
wymiernej. Podstawienie to ma postad: t = tg x. Do wykonania tego podstawienie będą potrzebne
pewne tożsamości trygonometryczne, które są wyprowadzone poniżej. Bazują one na następujących
podstawowych zależnościach
sin(a ą b ) = sina cos b ą cosa sin b,
(0.2)
cos(a b ) = cosa cos b sina sin b.
W szczególności z powyższych wzorów otrzymujemy wyrażenie na tg(a ą b)
sin(a ą b ) sina cos b ą cosa sin b tga ą tg b
tg(a ą b) = = = . (0.3)
cos(a ą b ) cosa cos b sina sin b 1 tgatg b
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
W szczególności mamy
cos2 a - sin2 a cos2 a - sin2 a
cos 2a = cos2 a - sin2 a = = =
1 cos2 a + sin2 a
sin2 a
1-
1- tg2a 1- tg2 1 a
cos2 a 2
= = . Stąd: cosa = .
sin2 a 1+ tg2a 1+ tg2 1 a
2
1+
cos2 a
Podobnie
2sina cosa 2sina cosa
sin 2a = 2sina cosa = = =
1 cos2 a + sin2 a
sina
(0.4)
2
1
2tga 2tg a
cosa 2
= = . Stąd: sina = .
sin2 a 1+ tg2a 1+ tg2 1 a
2
1+
cos2 a
Ponadto przydatne będą tożsamości
sin2 a 1- cos2 a 1 1
tg2a = = = -1 => cos2 a = .
cos2 a cos2 a cos2 a 1+ tg2a
(0.5)
sin2 a sin2 a tg2a
tg2a = = , (1- sin2 a)tg2a = sin2 a sin2 a = .
cos2 a 1- sin2 a 1+ tg2a
1
Podstawienie t = tg x daje
2
1 1 1
dt = dx = dx,
cos2 1 x 2 2cos2 1 x
22
22dt
dx = 2cos2 1 xdt = = .
2
1+ tg2 1 x 1+ t2
2
1
2tg x 2t
2
Ponadto z (0.4) mamy sin x == , zatem
1+ tg2 1 x 1+ t2
2
1 1+ t2 2 1
1
dx = dt = dt = ln | t | +C = ln | tg x | +C.
2
sin x 2t 1+ t2 t
1
3) Obliczyd całkę dx.
1+ x2
1
W tym przypadku stosujemy podstawienie x = ctgt. Mamy dx =- dt. Ponadto
sin2 t
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
cos2t sin2 t + cos2t 1
1+ x2 = 1+ ctg2t = 1+ = .
sin2 t sin2 t sin t
Podstawienie jest dla t (0, p ), więc w ostatniej równości nie musimy pisad | sin t |. Mamy więc
1 -1 1
1
dx = t dt = - dt = -ln | tg t | +C. (0.6)
2
sin sin2 t
sin t
1+ x2
Ostatnia całka jest na podstawie punktu 2). Musimy jeszcze wrócid do pierwotnej zmiennej x.
Formalnie z równości x = ctgt mamy t = arcctg x co daje następujące wyrażenie na całkę
1
1
dx = -ln | tg arcctg x | +C,
2
1+ x2
ale wyrażenie to można zapisad prościej. Mamy bowiem
sin t sin t 1
1
tg t = = = =
2
cost +1
cost + sin2 t + cos2 t cost cos2 t
+ 1+
sin t sin2 t
11
== .
ctgt + 1+ ctg2 t x + 1+ x2
1
1
Stąd -ln | tg t |= ln = ln | x + 1+ x2 |. Ostatecznie otrzymujemy
2
1
| tg t |
2
1
dx = ln | x + 1+ x2 | +C.
1+ x2
dx dx
4) . Obliczenie tej całki sprowadza się do znanej całki
1+ x2 = arctg x + C. Ta druga całka
x2 + a2
1
ó
wynika oczywiście z pochodnej funkcji arcus tangens: (arctg x) = .
1+ x2
dx dx 1 dx
Całkę przepisujemy tak == i stosujemy podstawienie t = x / a.
2
x
x2
x2 + a2 a2 (a) +1
a2 a2 +1
( )
Mamy dx = adt, więc
dx 1 adt 1 dt 1 1 x
= = = arctgt + C = arctg + C.
22
x2 + a2 a2 t +1 a t +1 a a a
CAAKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
P(x)
Funkcją wymierna nazywamy funkcję postaci f (x) = , gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.
Q(x)
Interesowad nas będą tylko funkcje wymierne rzeczywiste, tak więc x oraz współczynniki
wielomianów P(x) i Q(x) są rzeczywiste. Oczywiście funkcja wymierna określona jest wszystkich
x z wyjątkiem miejsc zerowych wielomianu Q(x). Przykłady funkcji wymiernych
x 5x2 -3x + 6 -2x5 +1 2 1
, , , , , 4x5 + x -1.
x +1 x3 + x - 2 x2 +1 x3 -1 x
Zauważmy, że funkcja wielomianowa jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej.
P(x)
Obliczenie całki dx z funkcji wymiernej jest w zasadzie możliwe pod warunkiem, że
Q(x)
potrafimy wyznaczyd pierwiastki wielomianu Q(x). Inaczej mówiąc całka ta wyraża się poprzez
funkcje elementarne oraz pierwiastki równania Q(x) = 0.
Aby obliczyd całkę funkcji wymiernej, rozkładamy ją na tzw. ułamki proste, które można już całkowad
w sposób elementarny. Ułamki proste są to wyrażenia wymierne następującej postaci
A Bx + C
, gdzie D = b2 - 4c < 0 oraz n,m . (0.7)
(x -a)m (x2 + bx + c)n
Pierwszy typ ułamków prostych całkuje się bardzo prosto:
A
(x -a)-m+1 + C, dla m >1,
A
dx =
-m +1
(x -a)m ln | x -a | +C,
dla m =1.
5 5 5
Na przykład dx = (x - 2)-4+1 + C = - + C.
(x - 2)4 -4 +1 3(x -3)3
Całkowanie ułamków prostych drugiego typu jest bardziej złożone. Po pierwsze warunek D< 0
oznacza, że wyrażenie x2 + bx + c nie ma miejsc zerowych (pierwiastków) i może byd zapisane
następująco
2
b -D
ć
x2 + bx + c = x + + , (0.8)
2 4
Ł ł
-D
gdzie składnik jest dodatni. Mamy więc
4
2
2
ć x + b ł
b -D -D
ć
ę 2 ś
x2 + bx + c = x + + ,= +1 . (0.9)
2 4 4
Ł ł ęŁ -D ł ś
2
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
b
x + Bx + C
2
Stosując teraz proste, liniowe podstawienie t = sprowadzamy całkę dx do
-D
(x2 + bx + c)n
2
prostszej postaci
Bx + C Bx + C Dt + E
dx = dx = dt. (0.10)
n
2
(x2 + bx + c)n n (t2 +1)n
ć x + b ł
-D
ć
ę -D2 ś
+1
4
Ł ł ęŁ 2 ł ś
Dt + E
Jak widad jedyną trudnością którą teraz mamy jest obliczanie całki postaci dt. Całka ta jest
(t2 +1)n
sumą dwóch całek, przy czym jedną z nich oblicza się wprost
Dt + E t 1
dt = D dt + E dt =
(t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n
11
t
= D + E dt.
2(-n +1) (t2 +1)n-1 (t2 +1)n
Ostatnią całkę można całkując przez części sprowadzid do pewnej następującej zależności
rekurencyjnej
1 t2 +1 t2 1 t
In = dt = dt - dt = dt -
t (t2 +1)n dt =
(t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n (t2 +1)n-1
ćó t
11
= In-1 -
t Ł 2(-n +1)(t2 +1)n-1 ł dt = In-1 - 2(-n +1)(t2 +1)n-1 + tó 2(-n +1)(t2 +1)n-1 dt =
t 11 t 1
= In-1 - + dt = In-1 - + In-1 =
2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(-n +1) (t2 +1)n-1 2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(-n +1)
t 2n - 3
= - + In-1.
2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(n -1)
1
Ponadto mamy I1 = dt = arctgt + C.
t2 +1
Podsumowując mamy
t 2n - 3
+ In-1, dla n >1,
-
In = 2(-n +1)(t2 +1)n-1 2(n -1) (0.11)
arctg t + C,
dla n =1.
PRZYKAADY
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
dx
1) . Możemy tę całkę obliczyd tak jak się wyprowadza zależnośd (0.11) lub po prostu
(x2 +1)2
skorzystad z tych wzorów.
dx x2 +1 x2 dx x
= dx - dx = - x dx =
(x2 +1)2 (x2 +1)2 (x2 +1)2 x2 +1 (x2 +1)2
1 1 1 1
ó dx = arctg x - xć
óć 1 1
= arctg x - xć - - + x - dx =
2 x2 +1 2 x2 +1 2 x2 +1
Ł ł Ł ł Ł ł
1 x 1 1 1 x 1
=arctg x + - dx = arctg x + - arctg x =
2 x2 +1 2 x2 +1 2 x2 +1 2
1 x 1
=+ arctg x.
2 x2 +1 2
dx
2) .
x3 +1
Dokonujemy rozkładu mianownika na czynniki nierozkładalne
x3 +1= (x +1)(x2 - x +1),
1
a następnie szukamy rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste postaci (0.7):
x3 +1
11A Bx + C
= = + .
x3 +1 (x +1)(x2 - x +1) x +1 x2 - x +1
Stąd mamy
1 A(x2 - x +1) + (Bx + C)(x +1) (A + B)x2 + (-A + B + C)x + (A + C)
== ,
x3 +1 (x +1)(x2 - x +1) x3 +1
co po porównaniu współczynników wielomianów z licznika daje
A + B = 0,
-A + B + C = 0,
A + C =1.
1 1 2
Rozwiązaniem tego układu jest A = , B = - , C = , zatem
3 3 3
1 1 2
1 - x + 1 1 1 -x + 2
3 3 3
= + = + ,
x3 +1 x +1 x2 - x +1 3 x +1 3 x2 - x +1
dx 1 dx 1 -x + 2 1 1
skąd = + dx = ln | x +1| + I. Dalej
x3 +1 3 x +1 3 x2 - x +1 3 3
Metody matematyczne w technologii materiałów
Krzysztof Szyszkiewicz
-x + 2 -x + 2x dx
I = dx = dx = - dx + 2 =
1 3 1 3 1 3
x2 - x +1 (x - )2 + (x - )2 + (x - )2 +
2 4 2 4 2 4
4 x 8 dx
= - dx + .
22
3 x-11
3 x-
22
+1 +1
33
( ) ( )
22
1
x-
2 dx 3
Teraz stosujemy podstawienie t = , więc dt = , dx = dt. Zatem
3 3 2
2 2
33
1
4 t + 8 dt 4 3 t 4 3 dt 4 3 dt
2 2 3 2
I = - dt + = - dt - + =
2
2 2 2 2 2
3 t +1 3 t +1 3 4 t +1 3 4 t +1 3 t +1
ć
t 3 4 3 dt 1
= - dt + - + = - ln(t2 +1) + 3arctgt.
22
t +1 3 3 t +1 2
Łł
Wracając do starej zmiennej x otrzymujemy
2
11
x-12
x-1
2 4 2x-1
I = - ln( +1) + 3arctg = ln(4 x2 - x + 2) + 3arctg + C.
33
( ) 3 3
22
223
Ostatecznie mamy
dx 1 1 3
4 2x-1
= ln | x +1| + ln(4 x2 - x + 2) + arctg + C.
3 3
3
x3 +1 3 6 3
ZADANIA
A) Obliczyd całki nieoznaczone
-7x
1) dx. 2) xeaxdx.
e
2
3
3) xdx. 4) 1- 5xdx.
sin
dx dx
5) . 6) .
x2 + 2x + 2 3 - 5x2
dx dx
7) 8) .
1+ sin x.
ex + e- x
B) Obliczyd podane całki z funkcji wymiernych.
x dx
1) . 2) .
2x2 - 3x - 2 x3 -1
x +1 dx
3) . 4) .
x3 - 4x x4 + x2 + 2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
instrukcja cw02cw02instrukcja TM cw02 ASMcw02 impulsy przypadkoweizs cw02se cw02C16 2005 cw02cw02?cw02 05ELEKTRONIKA cw02ELEKTRONIKA cw02cw02C16 2005 cw02Cw02więcej podobnych podstron