S z e [c i e n n e f u n k c j e s k l e j a n e . P r z y k Ba d ( 1 )
z i z i +1 y i +1 z i +1 h i y i z i h i
S i ( x ) = ( x i +1 - x ) 3 + ( x - x i ) 3 + -
( x - x i ) + h i - 6
( x i +1 - x )
6 h i 6 h i h i 6
S 1 ( x ) = 0 . 1 8 6 5 6 6 ( x - 3 ) 3 +1 . 6 6 6 6 6 7 ( 4 . 5 - x ) + 0 . 2 4 6 8 9 4 ( x - 3 )
S 2 ( x ) = 0 . 1 1 1 9 3 9 ( 7 - x ) 3 - 0 . 1 0 2 2 0 5 ( x - 4 . 5 ) 3 - 0 . 2 9 9 6 2 1 ( 7 - x ) +1 . 6 3 8 7 8 3 ( x - 4 . 5 )
S 3 ( x ) = -0 . 1 2 7 7 5 7 ( 9 - x ) 3 +1 . 7 6 1 0 2 7 ( 9 - x ) + 0 . 2 5 ( x - 7 )
F u n k c j e s k l e j a n e t r z e c i e g o s t o p n i a
3
x i y i
3 . 0 2 . 5
2
4 . 5 1 . 0
1
7 . 0 2 . 5
9 . 0 0 . 5
0
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
S z e [c i e n n e f u n k c j e s k l e j a n e . A l g o r y t m
i n p u t n , ( x i ) , ( y i )
A l g o r y t m j e s t w a r i a n t e m m e t o d y
f o r i = 0 t o n -1 d o
e l i m i n a c j i G a u s s a . W y b r e l e m e n t w
h i x i + 1 - x i
g B w n y c h n i e j e s t t u t a j p o t r z e b n y .
b i 6 ( y i + 1 - y i ) / h i
M o |n a w y k a z a , |e e l e m e n t y n a
e n d d o
g B w n e j p r z e k t n e j s z a w s z e r |n e
u 1 2 ( h 0 - h 1 )
o d z e r a .
v 1 b 1 - b 0
f o r i = 2 t o n -1 d o
u i 2 ( h i -1 + h i ) - h i 2 / u i -1
-1
v i b i - b i - 1 - h i - 1 v i - 1 / u i - 1
e n d d o
z n 0
f o r i = n -1 t o 1 s t e p -1 d o
z i ( v i - h i z i + 1 ) / u i
U w a g a :
e n d d o
W a r t o [c i u i , v i o b l i c z a n e d l a i > 1 n i e s
z 0 0
i d e n t y c z n e z w y s t p u j c y m i w u k Ba d z i e
o u t p u t k , ( x i )
r w n a D.
F u n k c j a i n t e r p 1
y i = i n t e r p 1 ( x , y , x i ) n a p o d s t a w i e w e k t o r a w z B w x o r a z w e k t o r a w a r t o [c i y
w w z Ba c h i n t e r p o l u j e w a r t o [c i y i w p u n k t a c h x i ( x i j e s t
l i c z b a l b o w e k t o r e m ) .
y i = i n t e r p 1 ( x , y , x i , m e t h o d ) n a p o d s t a w i e w e k t o r a w z B w x o r a z w e k t o r a
w a r t o [c i y i n t e r p o l u j e w a r t o [c i y i w p u n k t a c h x i
u |y w a j c r |n y c h m e t o d ( x i j e s t l i c z b a l b o
w e k t o r e m ) .
m e t h o d m e t o d a i n t e r p o l a c j i
l i n e a r i n t e r p o l a c j a l i n i o w a ( d o m y [l n a )
s p l i n e i n t e r p o l a c j a s z e [c i e n n y m i f u n k c j a m i s k l e j a n y m i
p c h i p p r z e d z i a Bo w a i n t e r p o l a c j a H e r m i t a w i e l o m i a n a m i
s z e [c i e n n y m i
i n t e r p 2 i n t e r p o l a c j a f u n k c j i d w c h z m i e n n y c h
P o z a w Ba s n y m i f u n k c j a m i M a t l a b d o d a t k o w o p o s i a d a
C u r v e F i t t i n g T o o l b o x o r a z S p l i n e T o o l b o x .
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a l i n i p r o s t ( 1 )
x 1 , x 2 , . . . , x n
C h c e m y d o p a s o w a d o t y c h d a n y c h d o [w i a d c z a l n y c h
M a m y
y 1 , y 2 , . . . , y n
l i n i p r o s t
g ( x ) = a x + b
K r y t e r i u m
n
zl e d z i a Ba
m i n
i
( y - a x i -b )
a , b
i =1
n
m i n y i - a x i -b zl e d z i a Ba
a , b
i =1
n
m i n
i
( y - a x i -b ) 2
a , b
i =1
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a l i n i p r o s t ( 2 )
x 1 , x 2 , . . . , x n
C h c e m y d o p a s o w a d o t y c h d a n y c h d o [w i a d c z a l n y c h
M a m y
y 1 , y 2 , . . . , y n
l i n i p r o s t
g ( x ) = a x + b
n n
S r ( a , b ) =
i i
( y - g ( x i ) ) 2 =( y - a x i -b ) 2
i =1 i =1
n n n
2
m i n S r ( a , b ) i i i
K r y t e r i u m x + x = x y i
a b
a , b
i =1 i =1 i =1
n n n
S r
= -2
i i i
( y - a x i - b ) x i = 0 x + n b = y
a
a
i =1 i =1 i =1
n
S r
= -2
i
( y - a x i - b ) = 0
n n n
b
i =1
n y i
i i
x y i -x
i =1 i =1 i =1
a =
2
n n n
n n
2
2
i i i n
y x i -a x -b x = 0
i i
x - x
i =1 i =1 i =1
i =1 i =1
n n n
n n
1 1
i i
y -a x -b = 0
b = y i - a
i
x
i =1 i =1 i =1 n n
i =1 i =1
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a l i n i p r o s t . B Bd .
n
R e p r e z e n t u j e k w a d r a t y p i o n o w y c h o d l e g Bo [c i
S r =
i
( y - a x i -b ) 2
p o m i d z y z m i e r z o n y m i d a n y m i i l i n i p r o s t .
i =1
G d y ( 1 ) p u n k t y s r o z Bo |o n e w z d Bu | l i n i i w o d l e g Bo [c i p o d o b n e g o r z d u o r a z
( 2 ) r o z k Ba d p u n k t w w o k B l i n i i j e s t n o r m a l n y t o m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t w d a j e n a j l e p s z e e s t y m a c j e s t a By c h a i b . D o d a t k o w o m o |e m y
w y z n a c z y s t a n d a r d o w y b Bd e s t y m a c j i j a k o
- s t a n d a r d o w y b Bd e s t y m a c j i ( o s z a c o w a n i e b Bd u
S r
d l a p r z e w i d y w a n e j w a r t o [c i y o d p o w i a d a j c e j
s y / x =
n - 2
s z c z e g l n e j w a r t o [c i x )
n
n
1
w a r i a n c j a
N i e c h S t =
i
y
i
( y - y ) 2 g d z i e y = n
i =1
i =1
W y g o d n i e j s z e d l a o b l i c z e D k o m p u t e r o w y c h
n n n
S t - S r
r =
n y i
x y i - x
i i
S t
i =1 i =1 i =1
r =
2 2
n n n n
r n a z y w a s i w s p Bc z y n n i k i e m k o r e l a c j i . 2
n y i 2 - y i
x - x n
i i
D l a i d e a l n e g o d o p a s o w a n i a m a m y r = 1 .
i =1 i =1 i =1 i =1
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a l i n i p r o s t . P r z y k Ba d ( 1 ) .
n
i i i
x y i -x y = 0 . 8 3 9 2 8 5 7
x i y i y i - a x i - b
a =
2
2
n
i
x -(x i )
1 0 . 5 0 . 1 6 8 7
1
b =
i i
y - a 1 x = 0 . 0 7 1 4 2 8 5 7
2 2 . 5 0 . 5 6 2 5
n n
3 2 . 0 0 . 3 4 7 3
y = 0 . 8 3 9 2 8 5 7 x + 0 . 0 7 1 4 2 8 5 7
4 4 . 0 0 . 3 2 6 5
5 3 . 5 0 . 5 6 9 6
A p r o k s y m a c j a s r e d n i o k w a d r a t o w a y = a x + b
7
6 6 . 0 0 . 7 9 7 2
6
7 5 . 5 0 . 1 9 9 3
5
n = 7
4
i
x = 2 8
3
y i = 2 4
2
i
x y i =1 1 9 . 5
1
2
i
x =1 4 0
0
0 2 4 6 8
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a l i n i p r o s t . P r z y k Ba d ( 2 ) .
n
S r = - s u m a k w a d r a t w o d c h y l e D
i
( y - a x i -b ) 2 = 2 . 9 9 1 1
i =1
n
1
y =
- w a r t o [ [r e d n i a
i
y = 2 4
n 7
i =1
n
S t =
i
( y - y ) 2 = 2 2 . 7 1 4 2 - w a r i a n c j a
i =1
S t
- o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e
s y = =1 . 9 4 5 7
n -1
S r
- s t a n d a r d o w y b Bd e s t y m a c j i
s y / x = = 0 . 7 7 3 5
n - 2
S t - S r
r = = 0 . 8 6 8 = 0 . 9 3 2 - w s p Bc z y n n i k k o r e l a c j i
S t
P r z e k s z t a Bc e n i a f u n k c j i n i e l i n i o w y c h
F u n k c j n i e l i n i o w y = f ( x ) p r z e k s z t a Bc a m y d o p o s t a c i w = a v + b
F u n k c j a l i n i o w a
F u n k c j a P o d s t a w i e n i e
a
1
y = a v + b
y = + b v =
x
x
1 a
1
b
w =
w = x +
y =
y
x + a b b
w = l n y
w = l n b x + l n a
y = a b x
S t a Ba c n i e j e s t
y = c - b e -a x w = l n ( c - y ) w = -a x + l n b
a p r o k s y m o w a n a
w = l n y
y = a x b v = l n x w = b v + l n a
y
w = l n
y = a x e b x
w = b x + l n a
x
c
c
y =
w = a x + l n b
w = l n -1 S t a Ba c n i e j e s t
a p r o k s y m o w a n a
1 + b e a x
x
v = l n x
y = a l n x + b y = a v + b
P r z e k s z t a Bc e n i a f u n k c j i n i e l i n i o w y c h . P r z y k Ba d
F u n k c j a w = 1 . 7 5 1 7 v - 0 . 6 9 1 3
x i y i
2 . 5
y = a x b
1 0 . 5
2
l n y = b l n x + l n a
2 1 . 7
1 . 5
w = l n y
3 3 . 4
1
v = l n x
4 5 . 7
0 . 5
w = b v + l n a
5 8 . 4
0
F u n k c j a y = 0 . 5 0 0 9 x 1 . 7 5 1 7
9
- 0 . 5
8
- 1
7
0 0 . 5 1 1 . 5
v = l n x
6
5
v = l o g ( x ) ;
4
w = l o g ( y ) ;
3
p = p o l y f i t ( v , w , 1 ) ;
a = 0 . 5 0 0 9
2
b = p ( 1 ) ;
1
b = 1 . 7 5 1 7
a = e x p ( p ( 2 ) ) ;
0
0 2 4 6
w = l n y
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a p a r a b o l
x 1 , x 2 , . . . , x n
C h c e m y d o p a s o w a d o t y c h d a n y c h d o [w i a d c z a l n y c h
M a m y
y 1 , y 2 , . . . , y n
l i n i p r o s t
g ( x ) = a x 2 + b x + c
n n
S r ( a , b , c ) =
i i
( y - g ( x i ) ) 2 =( y - a x i 2 - b x i - c ) 2
i =1 i =1
K r y t e r i u m m i n S r ( a , b , c )
a , b , c
N o r m a l n y u k Ba d r w n a D:
n
S r
= -2
i
( y - a x i 2 - b x i - c ) x i 2 = 0
a
i =1
n n n n
4 3 2 2
n
S r
i i i i
x + x + x = x y i
a b c
= -2
i
( y - a x i 2 - b x i - c ) x i = 0
i =1 i =1 i =1 i =1
b
i =1
n n n n
n
3 2
S r
i i i i
x + x + x = x y i
= -2 a b c
i
( y - a x i 2 - b x i - c ) = 0
i =1 i =1 i =1 i =1
c
i =1
n n n
2
i i i
x + x + n c = y
a b
i =1 i =1 i =1
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a p a r a b o l . P r z y k Ba d ( 1 )
n = 6
9 7 9 2 5 5 5 5 a 2 4 8 8 . 8
x i y i
i
x =1 5 2 2 5 5 5 1 5 b
= 5 8 5 . 6
0 2 . 1
y i =1 5 2 . 6
5 5 1 5 6
c 1 5 2 . 6
2
1 7 . 7
i
x = 5 5
a = 1 . 8 6 0 7 1
2 1 3 . 6
3
i
x = 2 2 5
b = 2 . 3 5 9 2 9
3 2 7 . 2
4
c = 2 . 4 7 8 5 7
i
x = 9 7 9
4 4 0 . 9
y =1 . 8 6 0 7 1 x 2 + 2 . 3 5 9 2 9 x + 2 . 3 7 8 5 7
i
x y i = 5 8 5 . 6
5 6 1 . 1
2
S t a n d a r d o w y b Bd e s t y m a c j i :
i
x y i = 2 4 8 8 . 8
S r
n n n n
s y / x = =1 . 1 2
4 3 2 2
i i i i
x + x + x = x y i n - ( m +1 )
a b c
i =1 i =1 i =1 i =1
g d z i e m s t o p i e D w i e l o m i a n u
n n n n
3 2
a p r o k s y m u j c e g o
i i i i
x + x + x = x y i
a b c
i =1 i =1 i =1 i =1
S t - S r
n n n
2
r = = 0 . 9 9 8 5 1 = 0 . 9 9 9 2 5
i i i
x + x + n c = y
a b
S t
i =1 i =1 i =1
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a p a r a b o l . P r z y k Ba d ( 2 )
y = 1 . 8 6 0 7 x 2 + 2 . 3 5 9 3 x + 2 . 4 7 8 6
7 0
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
0 1 2 3 4 5
W i e l o l i n i o w a a p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a
x 1 1 , x 1 2 , . . . , x 1 n C h c e m y d o p a s o w a d o t y c h d a n y c h d o [w i a d c z a l n y c h
M a m y
x 2 1 , x 2 2 , . . . , x 2 n p Ba s z c z y z n
g ( x 1 , x 2 ) = a x 1 + b x 2 + c
y 1 , y 2 , . . . , y n
n n
S r ( a , b , c ) =
i i
( y - g ( x 1 i , x 2 i ) ) 2 =( y - a x 1 i - b x 2 i - c ) 2
i =1 i =1
K r y t e r i u m m i n S r ( a , b , c )
a , b , c
n
n n n n
S r
2
= -2
i
( y - a x 1 i - b x 2 i - c ) x 1 i = 0
1 i 1 i 1 i 1 i
x + x x 2 i + x = x y i
a b c
a
i =1
i =1 i =1 i =1 i =1
n
S r n n n n
2
= -2
i
( y - a x 1 i - b x 2 i - c ) x 2 i = 0
1 i 2 i 2 i 2 i
x x 2 i + x + x = x y i
b
a b c
i =1
i =1 i =1 i =1 i =1
n
S r
n n n
= -2
i
( y - a x 1 i - b x 2 i - c ) = 0
c
1 i 2 i i
x + x + n c = y
i =1 a b
i =1 i =1 i =1
W i e l o l i n i o w a a p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a .
P r z y k Ba d . ( 1 )
x 1 i x 2 i y i
2
0 0 5
1 i 1 i 1 i 1 i
x x x 2 i x a x y i
2
2 1 1 0
=
1 i 2 i 2 i
2 i
x x 2 i x x b x y i
2 . 5 2 9 n
1 i 2 i i
x x c y
1 3 0
4 6 3
7 6 . 2 5 4 8 1 6 . 5 a 2 4 3 . 5
b
7 2 2 7
4 8 5 4 1 4 = 1 0 0
1 6 . 5 1 4 6
c 5 4
n n n n
2
1 i 1 i 1 i 1 i
x + x x 2 i + x = x y i
a b c
i =1 i =1 i =1 i =1
n n n n
a = 4
2
1 i 2 i 2 i 2 i
x x 2 i + x + x = x y i
a b c
b = -3
i =1 i =1 i =1 i =1
c = 5
n n n
y i
1 i 2 i
x + x + n c =
a b
i =1 i =1 i =1
W i e l o l i n i o w a a p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a .
P r z y k Ba d . ( 2 )
F u n k c j a y = 4 x 1 - 3 x 2 + 5
4 0
3 0
2 0
1 0
0
- 1 0
- 2 0
6
8
4
6
4
2
2
0
0
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a n i e l i n i o w a
x 1 , x 2 , . . . , x n
C h c e m y d o p a s o w a d o t y c h d a n y c h d o [w i a d c z a l n y c h
M a m y
y 1 , y 2 , . . . , y n
f u n k c j n i e l i n i o w g ( x ) .
n
m i n S r ( a , b )
K r y t e r i u m
S r ( a , b ) =
i
( y - g ( x i ) ) 2
a , b
i =1
x = l s q c u r v e f i t ( f u n , x 0 , x d a t a , y d a t a ) d o p a s o w u j e f u n k c j n i e l i n i o w d o d a n y c h
e k s p e r y m e n t a l n y c h m e t o d n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t w .
A l g o r y t m y :
x = l s q c u r v e f i t ( f u n , x 0 , x d a t a , y d a t a , l b , u b )
t r u s t r e g i o n r e f l e c t i v e
x = l s q c u r v e f i t ( f u n , x 0 , x d a t a , y d a t a , l b , u b , o p t i o n s )
L e v e n b e r g a - M a r q u a r d t a
[ x , r e s n o r m ] = l s q c u r v e f i t ( . . . )
[ x , r e s n o r m , r e s i d u a l ] = l s q c u r v e f i t ( . . . )
[ x , r e s n o r m , r e s i d u a l , e x i t f l a g ] = l s q c u r v e f i t ( . . . )
l s q c u r v e f i t j e s t e l e m e n t e m O p t i m i z a t i o n T o o l b o x ( o p i s p a r a m e t r w n a s t p n y s l a j d ) .
P a r a m e t r y l s q c u r v e f i t
[ x , r e s n o r m , r e s i d u a l , e x i t f l a g ] = l s q c u r v e f i t ( f u n , x 0 , x d a t a , y d a t a , l b , u b , o p t i o n s )
f u n f u n k c j a a p r o k s y m u j c a y = f ( x , x d a t a )
x w e k t o r e s t y m o w a n y c h p a r a m e t r w f u n k c j i a p r o k s y m u j c e j
x d a t a w e k t o r w a r t o [c i d o [w i a d c z a l n y c h z m i e n n e j n i e z a l e |n e j
y d a t a w e k t o r w a r t o [c i d o [w i a d c z a l n y c h z m i e n n e j z a l e |n e j
x 0 w e k t o r w a r t o [c i p o c z t k o w y c h e s t y m o w a n y c h p a r a m e t r w
l b w e k t o r o g r a n i c z e D d o l n y c h n a e s t y m o w a n e p a r a m e t r y
u b w e k t o r o g r a n i c z e D g r n y c h n a e s t y m o w a n e p a r a m e t r y
o p t i o n s s t r u k t u r a ( t w o r z o n a p r z y p o m o c y f u n k c j i o p t i m s e t ) p r z e k a z u j c a d o
f u n k c j i l s q c u r v e f i t p a r a m e t r y o p t y m a l i z a c j i
r e s n o r m s u m a k w a d r a t w r |n i c
r e s i d u a l w e k t o r r |n i c f ( x , x d a t a ) y d a t a
e x i t f l a g w a r t o [ o p i s u j c a w a r u n k i z a k o Dc z e n i a o b l i c z e D
1 z n a l e z i o n o r o z w i z a n i e
2 z m i a n a x m n i e j s z a n i | z a d a n a d o k Ba d n o [
3 z m i a n a y m n i e j s z a n i | z a d a n a d o k Ba d n o [
4 w i e l k o [ k i e r u n k u p o s z u k i w a D m n i e j s z a n i | z a d a n a d o k Ba d n o [
0 o s i g n i t o z a d a n l i c z b i t e r a c j i a l b o z a d a n l i c z b o b l i c z e D
w a r t o [c i f u n k c j i
A p r o k s y m a c j a [r e d n i o k w a d r a t o w a n i e l i n i o w a . P r z y k Ba d
T h e v a p o r p r e s s u r e o f l i q u i d 2 , 2 , 4 - t r i m e t h y l p e n t a n e
1 2 0
2 , 2 , 4 - t r i m e t y l
R w n a n i e A n t o i n e a
p e n t a n
1 0 0
B
l n p = A +
T P
t + C
8 0
[ C ] [ k P a ]
6 0
f u n c t i o n l n p = A n t o i n e ( c , T )
- 1 5 . 0 0 . 6 6 7
l n p = c ( 1 ) + c ( 2 ) . / ( T + c ( 3 ) ) ;
4 0
- 4 . 3 1 . 3 3 3
2 0
A = 1 3 . 7 7 . 5 2 . 6 6 6
0
B = - 2 9 1 2 . 9
- 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
2 0 . 7 5 . 3 3 3
t e m p e r a t u r e [ C ]
C = 2 2 1 . 5
2 9 . 1 8 . 0 0 0
t = [ - 1 5 - 4 . 3 7 . 5 2 0 . 7 2 9 . 1 4 0 . 7 5 8 . 1 7 8 9 9 . 2 ] ;
4 0 . 7 1 3 . 3 3
p = [ 0 . 6 6 7 1 . 3 3 3 2 . 6 6 6 5 . 3 3 3 8 . 0 1 3 . 3 3 2 6 . 6 6 5 3 . 3 3 1 0 1 . 3 2 ] ;
5 8 . 1 2 6 . 6 6
l n p = l o g ( p ) ;
7 8 . 0 5 3 . 3 3
l o = [ - I n f - I n f - I n f ] ;
u p = [ I n f I n f I n f ] ;
9 9 . 2 1 0 1 . 3 2
c 0 = [ 1 5 - 2 0 0 0 2 0 ] ;
o p c j e = o p t i m s e t ( A l g o r i t h m ' , ' l e v e n b e r g - m a r q u a r d t ' ) ;
[ c , r e s n o r m , r e s i d u a l , e x i t f l a g ] = l s q c u r v e f i t ( @ A n t o i n e , c 0 , t , l n p , l o , u p , o p c j e ) ;
p r e s s u r e [ k P a ]
R |n i c z k o w a n i e n u m e r y c z n e ( 1 )
C z y z n a j c w a r t o [c i f u n k c j i f
w p u n k t a c h x 0 , x 1 , . . . , x n m o |e m y
o b l i c z y w a r t o [c i p o c h o d n e j a l b o
c a Bk i ?
Z a l e |y o d t e g o c o w i e m y o f u n k c j i .
1
f ( x ) [ f ( x + h ) - f ( x ) ]
h
O s z a c u j m y b Bd p r z y b l i |e n i a
1
f ( x + h ) = f ( x ) + h f ( x ) + h 2 f ( x) g d z i e x ( x , x + h )
2
1 1
f ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x ) ] - h f ( x)
h 2
h 0 b l a d 0
B Bd p r z y b l i |e n i a ( o b c i c i a )
P r z y b l i |o n a w a r t o [ p o c h o d n e j
R |n i c z k o w a n i e n u m e r y c z n e . P r z y k Ba d 1 .
D l a h = 0 . 0 1 z n a l e z p r z y b l i |o n w a r t o [ p o c h o d n e j f u n k c j i f ( x ) = c o s x d l a x = p/ 4
i o s z a c o w a b Bd p r z y b l i |e n i a .
1 1
f ( / 4 ) [ f ( / 4 + 0 . 0 1 ) - f ( / 4 ) ] = ( 0 . 7 0 0 0 0 0 4 7 6 - 0 . 7 0 7 1 0 6 7 8 1 = -0 . 7 1 0 6 3 0 5 1
)
0 . 0 1 0 . 0 1
1
h 2 f ( x) = 0 . 0 0 5 c o s ( x) 0 . 0 0 5
2
P o n i e w a | x ( p/ 4 , p/ 4 + h ) w i c | c o s p/ 4 | < 0 . 7 0 7 1 0 7 . W k o n s e k w e n c j i
1
h 2 f ( x) = 0 . 0 0 5 c o s ( x) 0 . 0 0 5 0 . 7 0 7 1 0 7 = 0 . 0 0 3 5 3 5 5
2
P r a w d z i w y b Bd j e s t n i e w i e l e m n i e j s z y :
W y d a j e s i , |e w a r t o [ f ' ( x ) z e w z o r u
1 1
-s i n ( / 4 ) + 0 . 7 1 0 6 3 0 5 1 = 0 . 0 0 3 5 2 3 7 2 9
f ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x ) ] - h f ( x)
h 2
j e s t t y m d o k Ba d n i e j s z a i m m n i e j s z e
j e s t h .
R |n i c z k o w a n i e n u m e r y c z n e . P r z y k Ba d 2 a .
S p r a w d zm y p r z y p u s z c z e n i e z P r z y k Ba d u 1 .
x = 2
Z n a l e z p r z y b l i |o n w a r t o [ p o c h o d n e j f u n k c j i f ( x ) = a r c t g x d l a
i o s z a c o w a b Bd p r z y b l i |e n i a .
1 1
w i c
f ( x ) = f ( 2 ) =
x 2 +1 3
h [ f ( x + h ) -f ( x ) ] / h
2 -4 0 . 3 2 3 7 4 9 5 4
N a j l e p s z a d o k Ba d n o [ f ' ( 3 c y f r y z n a c z c e )
2 -1 2 0 . 3 3 3 2 5 1 9 5
d l a l i c z b z m i e n n o p o z y c y j n y c h 3 2 b i t o w y c h
2 -2 0 0 . 3 1 2 5 0 0 0 0
2 -2 4 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0
2 -2 6 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0
O d e j m u j c b l i s k i e w i e l k o [c i t r a c i m y t y m w i c e j c y f r z n a c z c y c h i m m n i e j s z e j e s t h .
R e d u k c j a l i c z b y c y f r z n a c z c y c h u n i e m o |l i w i a u z y s k a n i e d o b r y c h p r z y b l i |e D
p o c h o d n e j d l a m a By c h h .
R |n i c z k o w a n i e n u m e r y c z n e ( 2 )
W e zm y i n n y w z r
1
f ( x ) [ f ( x + h ) - f ( x - h ) ]
2 h
O s z a c u j m y b Bd p r z y b l i |e n i a
1 1
f ( x + h ) = f ( x ) + h f ( x ) + h 2 f ( x ) + h 3 f ( x+ )
2 3 !
1 1
f ( x - h ) = f ( x ) - h f ( x ) + h 2 f ( x ) - h 3 f ( x-)
2 3 !
O d e j m u j e m y s t r o n a m i
1 1
f ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x - h ) ] - h 2 [ f ( x-) + f ( x+ ) ]
2 h 1 2
1
f ( x) = [ f ( x-) + f ( x+) ]
J e |e l i f j e s t c i g Ba w ( x - h , x + h ) t o i s t n i e j e x t a k i e , |e
2
1 1
S t d
f ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x - h ) ] - h 2 [ f ( x) ]
2 h 6
B Bd j e s t m n i e j s z y n i | p o p r z e d n i o b o h j e s t w w y |s z e j p o t d z e .
Z a t e m p r z y b l i |e n i e j e s t d o k Ba d n i e j s z e .
R |n i c z k o w a n i e n u m e r y c z n e . P r z y k Ba d 2 b .
x = 2
Z n a l e z p r z y b l i |o n w a r t o [ p o c h o d n e j f u n k c j i f ( x ) = a r c t g x d l a
i o s z a c o w a b Bd p r z y b l i |e n i a .
1 1
w i c
f ( x ) = f ( 2 ) =
x 2 +1 3
P o w t a r z a m y o b l i c z e n i a z P r z y k Ba d u 2 a s t o s u j c w z r .
1 1
f ( x ) = [ f ( x + h ) - f ( x - h ) ] - h 2 [ f ( x) ]
2 h 6
h [ f ( x + h ) -f ( x ) ] / ( 2 h )
2 -2 0 . 3 3 7 1 9 3 8 5
N a j l e p s z a d o k Ba d n o [ f '
2 -1 0 0 . 3 3 3 3 4 3 5 1
( l e p s z a n i | w P r z y k Ba d z i e 2 a )
2 -1 8 0 . 3 2 8 1 2 5 0 0
d l a l i c z b z m i e n n o p o z y c y j n y c h
2 -2 6 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 b i t o w y c h
O d e j m u j c b l i s k i e w i e l k o [c i z n w t r a c i m y t y m w i c e j c y f r z n a c z c y c h i m m n i e j s z e
j e s t h .
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