19684

Ciągi

Zadanie 1. Na podstawie wartości kilku początkowych wyrazów ciągu znaleść ich wrozy ogólne.

a) (o„) = (7,3,-1,-5,...)    b) (6^) = (1,0,1,0,1,0,...)

c) (c_n) = (1,11,111,1111,...)    d) {d_n) = (1,3.6,10,15,21,...).

Zadanie 2. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów.

a) a„ = (n + 10)!, fl_n+3 b) b_n - y/\ + y/2 + ... + y/n, b_ni

^C) ^ ⁼    "*■ (n+l)! + • • • + (2n)j’ ^Cn+¹'

Zadanie 3. Zbadać czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca n) On =    6) bn =    c) Cn = \/»² + 4n - n.

Zadanie 4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic obliczyć podane granice.

1) linin^oc ⁿ , 2) lim_n__oc 3) lim,,-,,*, 51^5, 4) liin_fł__oc (4^_₁jj₃i₊₂)ł 5) lim,,-,,*, 6) linin-.oo    7) linin^oo y/n + 2 - y/ń, 8) lim,,-,,* y/n² + n -

y/ń, 9) linin^oo n + y/n² + 5n, 10) lim,^*, tyn* + 4n² - n, 11) lim_r,-„*

12) linin-oc^^, 15) lim_n_₀₀(y/n² + 4n + 1-V«² + 2n), 16) lim„^eo-^8^7,

17)    18)lim„_₀₀(_v/n + G_v/S +    19) lim_n_.oc    ^ ’

20) lim„__0o    21)liin„__0o    22) lun„_„

Zadanie 5. Korzysając z twirdzenia o trzech ciągach znaleść granicę.

1) linw </&+&, 2) lim,,^ (/10ⁿ + 9" + 8". 3) lim,,^* 4)linin^oc \/3n + 4" + 5ⁿ, 5)lim„_* ^Hy/n+ 1, 6) lim_n_* ^5 + 5 + f + ••• + -fr,

7) lim_n_₀₀(^4

+ ••• + 77rrr:)-

a iw

fn'*+l    n²+2 '    >/ń*+n ‘

Zadanie 6. Korzysając z definicji liczby e oraz twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice.

1) lim„_<*(l + £)ⁿ, 2) lim^oof^)", 3) lim_fł__0O(l - £)", 4) lim_B__0C(l +

5) lim_n__oc(l — j^)ⁿ, 6) liin_n_₀₀( 1 + ;?)", 7) lim_n_₀₀(^_T)ⁿ

Zadanie 7. Korzysając z twirdzenia o dwóch ciągach znaleść granicę.

a) lim„—oo[n‘^,+(—l)"n], b)lim_n^    c) lim_n_₀₀[3ⁿ+(-2)ⁿ], rf)lim„_,* y/ńwn - n.

Zadanie 8. Oblicz podane granice.

a) lim„_^*(l - cos ■■ )ⁿ, b) lim„_<* ^5^77, c) lim„^oo(\/n + 3 - y/ń).

1