22883

2

•    Obroty wokół osi łączących środki przeciwległych ścian, czyli permutacje:

<A,B, F. F)(D. (\ c. II), (A.F)(E,B)(D,G)(C, II). (A. E. F. B)(D. //.G,C), (A, E, H, D)(B. F,G,C). (.4. H)(E. D)(B.G)(F,C). (A, D, //. E)(B.C,G. F). (A. B.C, D)(E. F. G.H). (A. C)(B. D)(E.G)(F. H), {A. D.C. B)(H.G. F. E). - tych permutacji jest łącznie 9.

•    Sześć obrotów wokół osi łączących środki przeciwległych krawędzi, czyli permutacje:

(E,A)(G,C){F.D)(H.B).

(F.B){H.D)(E,C)(A. G).

(A. B)(H. G){F. D)(E, C).

(E.F)(D,C)(A,G)(B. H),

(E. H)(B.C)(A.G){D. F).

(A,D){F,G)(C.E)(B. //)

Ponieważ musimy także uwzględnić identyczność (A)(B)(C){D)(E)(F)(G)(H). grupa obrotów sześcanu jest rzędu 24.

Twierdzenie 0.1 Jeśli grujm G działa na zbiorze X, g € G, to g jest bijekcją zbioru X.

Dowód.

•    Niech g € G i niech x i y będą takimi ckmiciitnuii zbioru X, że </(x) -g(y). Wówczas y^_1(y(-r)) = g~¹ (y(y)) i stąd oraz z pierwszego postulatu definicji działania grupy na zbiorze (g~^l •</)(!) = (y^-1 ■g)(y). Mamy więc e(x) = e(y) i na mocy drugiego warunku x = y. Dowolny element grupy G jest więc jako funkcja zbioru X w X, injekcją.

•    Niech teraz y € X. Zdefiniujmy x := y^-,(y). Korzystając z dwóch wa

runków' definicji działania grupy na zbiorze łatwo można sprawdzić, że y = g(x). Dowolny element g G G jako funkcja działająca na zbiorze X jest więc surjekcją.    ■

Dla grupy G działającej na zbiorze A' oraz el. x € X stabilizatorem x nazywamy

G_s = {g € G : g{x) = x)

Przykład 0.3 Przyjmując oznaczenia takie, jak w przykładzie 1.2 stabilizatorem elementu A w grupie obrotów sześcianu jest zbiór złożony z trzech permu-tncji: {idx-(A)(G)'(B.E.D)(C,F.H). (A)(G)(B.D.E)(C,H.F)}.

Twierdzenie 0.2 Stabilizator douwlnego elementu x € X jest podąrujią grupy

G.

Orbita elementu x € X nazywamy zbiór

Orb x = {y(x) :g € (?}