25120

Twierdzenie 3.1.

1.    Element neutralny w dowolnej grupie jest wyznaczony jednoznacznie.

2.    W grupie dowolny element x ma dokładnie jeden element odwrotny, który będziemy oznaczali jr \

Dowód.

Wynika z twierdzeń 2.1 oraz 2.2.

□ Twierdzenie 3.2.

Dla dowolnej grupy G= {X, •) i dowolnych elementów a_y x,ye G zachodzi prawo jednostronnego skracania:

jeśli a*x=a*y, to x=y\ jeśli x•a=ya_y to x=y.

Dowód.

a - element odwrotny do a e G

a⁹x=a*y.

a'* (zz«jc)= a¹* (a*y) => (a¹* a)*x=(a' ¹ • a) •y => e*x= e*y => x= y.

□ Tw ierdzenie 3.3.

Dla dowolnej grupy G= {X, •) i dowolnych elementów a_yb g X zachodzi: _(rffr)¹ = fr¹ •d\    (1.1)_

Dowód.

e - element neutralny grupy G.

(b'^x ma'^]) • (a^mb) = b ^] • (a ¹ • a) *b = b ' • e *b = b ' *b = e.

Z drugiej strony mamy analogicznie:

(a*b) • (/?'    ¹ ) = a • (b • b'^x) • a'¹ = a • e • a¹ =

a •a'¹ = e.

□ Twierdzenie 3.4.

Dla dowolnej grupy G= {X, •} i dowolnych elementów a_y b_y x_y y e G równania

cfx = b i ya = b

mają rozwiązania w G.

Dowód.

x =a^l *b i y=b*a \

Rzeczywiście, a• (a ¹ *b) = (ia• a'^]) *b = e*b = b_y (b⁹ a'^]) •a — b • (« ¹ •*?) = b*e = /?