123167

mnożenia macierzy jest pierścieniem. Pierścień ten posiada element neutralny mnożenia / ( a więc jest to przykład pierścienia z jedynką). Jeśli n > 1 to pierścień ten jest nieprzemienny.

Podobnie można rozpatrywać pierścienie macierzy o współczynnikach całkowitych (A/„(Z)), wymiernych (A/„(Q)), lub o współczynnikach z pierścienia Zk czyli o pierścieniu M_n{Zk).

Przykład Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych, które przekształcających R w R. Wtedy funkcje można dodawać i mnożyć:

(/ + </)(*) = /(*) + 9{x),    {fg)(x) = f(x)g(x)

Można udowodnić, że suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, a więc struktura (C. +, •) jest pierścieniem. Jest to pierścień przemienny z jedynką. Pierścień ten jest pod pierśc ieniem pierścienia wszystkich funkcji, które przekształcają R w R.

Mówimy, że przemienny pierścień z jedynką (P, +, •) jest dziedziną całkowitości lub pierścieniem bez dzielników zera jeśli 0/> ^ l/> i spełniony następujący aksjomat:

(11)    Jeśli dla a, b € P mamy ab = 0/> to a = 0/> lub b — Op.

Przykładami pierścieni bez dzichiików zera są (Z. +, •), (R. +, •) lub pierścień (Z_p, +_p. -_p), gdzie p jest liczbą pierwszą. Pierścieniem, który nie jest dziedziną jest (Zc. +6, e), ho 2 *6 3 = 0.

Element a € P pierścienia z jedynką (P. +, •) nazywamy odwracalnym jeśli

(12)    Równanie a • x — x • a = 1^ ma rozwiązanie.

Element, który jest rozwiązaniem tego równania nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy go przez a"¹.

Mówimy, że pierścień z jedynką (P, +, •) jest pierścieniem z dzieleniem jeśli każdy niezerowy element pierścienia P jest odwracalny. Na przykład (Z, +, •) nie jest pierścieniem z dzieleniem, a (R. +, •) jest.

Przemienny pierścień z dzieleniem nazywamy ciałem.

Twierdzenie 1 Pierścień (Z_p, +_p. -_p) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy p jest liczbą pierwszą.

Zadanie Udowodnić, że podpierścień pierścienia macierzy A/₂(R). który składa się z macierzy o postaci:

a b -ba

jest ciałem.

2