25177

•    Funkcję / : X —¹ Y nazywać będziemy surjekcją (suriekcią) (lub funkcją ”na”), jeśli dla każdego y ze zbioru Y istnieje element X, który jest mu przyporządkowany, czyli

Vy € Y 3x € X f(x) = y.

•    Funkcję, która jest jednocześnie surjekcją i iniekcja nazwiemy bijekcją.

• Jeśli funkcja jest funkcja różnowart ościową, to dla funkcji / możemy zdefiniować jej funkcję odwrotną, oznaczoną przez /^-1 (czego nic należy mylić z odwrotnością funkcji /. czyli j).

Dziedziną funkcji odwrotnej (Df-i) jest zbiór wartości funkcji /. a zbiorem wartości - dziedzina funkcji /.

Oczywiście, z definicji funkcji odwrotnej wynika, że funkcją odwrotną do funkcji odwrotnej jest sama funkcja /.    = /. Zachodzą zatem następujące równości:

Vx 6 D) /-'(/(¹)) = x, v»eD,-.    f(r'(y)) = y-

oraz

Vx€D/ VyeD_f-1 f(y) = x <=>    f~\y)=x.

•    wyposażeni w tę wiedzę, możemy łatwo obliczyć funkcje odwrotną dla np. f(x) = 3x — 4.

Ponieważ y = 3x — 4, aby wyliczyć funkcje odwrotną wystarczy wyrazić x za pomocą y, co daje x =    + 4). Zatem funkcją odwrotną jest g{y) = |(«/ + 4).

Czy funkcje które nie są różnowartościowe są dla nas bezwartościowe (jeśli chodzi o funkcje odwrotną, oczywiście)? Jak dobrze wiemy, funkcja kwadratowa f(x) = x² nie jest funkcją róż-nowartościową w całej swojej dziedzinie. Ograniczając się jednak tylko do pewnego podzbioru dziedziny funkcji możemy otrzymać funkcję różnowartościową. I tak, jeśli dla funkcji kwadratowej ograniczymy sie do liczi) nieujemnych, to funkcją odwrotną będzie g(y) = sJTh jeśli zaś za dziedzinę funkcji kwadratowej przyjmiemy liczby niedodatnie, to funkcją odwrotną będzie

9{y) = -y/y-

•    Aby narysować wykres funkcji odwrotnej do danej funkcji, wystarczy odbić wykres funkcji f(x) względem prostej y = x.

2

1

   Przydatną umiejętnością przy posługiwaniu się funkcjami jest umiejętność składania funkcji. Złożenie funkcji / i y oznaczymy jako f(g) bądź f o g - zapis ten czytamy <xl prawej, tzn. na funkcję / nakładamy funkcje g, przyjmując za jej argument wartość funkcji /. Kolejność pisania funkcji jest istotna, gdyż f(g) to nie to samo co g(f). Funkcję g nazwiemy funkcją wewnętrzną, zaś / - funkcją zewnętrzną.

Oczywiście składać funkcje można kilkukrotnie, np. f(g(h(x))).

Dziedzina złożenia dwóch funkcji f(g) jest taki podzbiór D_g, by zbiór wartości funkcji g, dla tak ograniczonej dziedziny, wpadał w dziedzinę funkcji /.

•    Przykład:

rozpatrzmy funkcje f(x) = x², g(x) = y/x, h(x) = x + 5. Jak łatwo zauważyć f°9 = f(9{¹)) = (\/x)² =    D_{f og} = (0, +oo);

9° f = 9(f{x)) = \Zx¹= |¹|, D_gof = IR: