27885

ZAGADNIENIE CAUCHY’EGO

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (1) polega na znalezieniu takiego rozwiązania tzn. takiej całki szczególnej tego równania, które spełnia warunek początkowy: y₀ = >'(*„), gdziex₀, y„sa danymi liczbami. Wówczas wstawiając do całki ogólnej (2) wartości ,t₀, >■„ otrzymujemy równość, z której obliczamy c: y„ = S(x,c„) = i/4x).

W ten sposób

(3)    y = Ąx,c₀)=v*(x) jest całką szczególną będącą rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego dla równania (1).

W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy’ego dla równania (1) z warunkiem y(x„)=y« polega na wybraniu spośród krzywych całkowych (2) takiej, która przechodzi przez z góry ustalony punkt P«(x», y»).

2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

y' = / M-s(y)

*=/w-«w4>=/t*)*

dx

G(y)= F(x)+c y = G-^|[fW+c] ^(.t, y,c) = 0

Przykład 1

>(!)= 1

jr‘y-jry'ln y = 0. x²y = x>’'ln y

x² , In y

—dx = —-dy

x y

In y = I — dy = dl

y

xdx

J—J

— £ 2 “ 2 ⁺2

1² = x²+c

In² y = x^! +c