95689

IJuaga. W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego, polega na znalezieniu wśród wszystkich krzywych całkowych równania (R) tej. która przechodzi przez punkt (to.y₀) (rys.2). Jednak zagadnienie to niekoniecznie musi mieć jednoznaczne rozwiązanie Może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie danego zagadnienia początkowego Istnienie rozwiązań zagadnienia początkowego oraz ich jednoznaczność jest jednym z głównych problemów teorii równali różniczkowych zwyczajnych.

Tw. 1.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (R))

df

Niech funkcja flt.y) oraz jej pochodna cząstkowa — będą określone i ciągłe na obszarze domkniętym D c R*. Wtedy dla

dy

każdego punktu (t^y,,) e D, zagadnienie początkow-e (RW) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Uwaga Inaczej mówiąc przy dowolnych wartościach początkowych wybranych z obszaru D istnieje zawsze rozwiązanie zagadnienia początkow-ego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o tych samych wartościach początkowych (W), przy czym każde z rozwiązań określone jest na pewnym przedziale zawierającym punkt ty, to rozwiązania te pokrywają się na wspólnej części rozważanych przedziałów.

Def. 1.1.6 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)

Rodzinę funkcji

y= y(t,C).

zależnych od par ametru rzeczywistego C. nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (R). jeżeli:

1.    każda funkcja tej rodziny jest jego rozwiązaniem.

2.    dla każdego warunku początkowego y(t₀) = y₀, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne można dobrać stałą C tak.aby y(t₀,C)= y₀.

Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonej wartości parametru C nazywamy rozwiązania!) szczególnym tego równania.

Uwaga. Rozwiązanie zagadniaiia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametru C można otrzymać rozwiązanie zagadniaiia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, określone w postaci itwikłancj

0(t, y,C) = 0.

nazywamy całką ogólną tego równania.

1.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

Def. 1.2.1 (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)

Równanian różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

(S)    y*= g(t)h(y).

yojest jednym z rozwiązali powyższego równania. W

Uwaga Zauważmy, że jeżeli h(y₀) = 0 dla pewnego y,* to funkcja y(t) 5 formie różniczkowej o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać

^-=g(,)d<.

h(y)

Fakt 1.2.2 (całka ogólna równania (S))

Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a.b) i (c.d). przy czym h(y) * 0 dla każdego y e (c.d). Wtedy całka ogólna równania różniczkowego o zmiainych rozdzielonych (S) dana jest wzorem

isH^,,'^>*^4C

Uwaga Całki w powyższym wzorze rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne Tw. 1.2.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (S))

Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a.b) i (c.d). przy czym h(y) * 0 dla każdego y e (c.d). Wtedy dla każdego punktu (ty,y₀), gdzie to e (a.b), yo e (c.d>, zagadniaiic początkowe

y’=g(t)h(y), y(t₀)=y₀

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (to,y₀) prostokąta (a,b)x(c,d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys.3) równania.v' = g(t)h(y).