335 2

335

8.3 Inne metody rozwiązywania zagadnień początkowych

aby TC nową wartość otrzymać z dostateczną dokładnością za pomocą iUJsr składników KCrcgu.

* j^etoda szeregów potęgowych była dawniej czesru używana w obliczeniach ręcznych.

Straciła na znaczeniu w początkowym okresie stosowania komputerów. Później jednak. ³    doskonalenia technik i języków programowania, popularność metody /rów wzro-

a i z praktyczne metody szeregów potęgowych w obliczeniach komputerowych opisuje Moore [6i]).

• vv>pól:zv3tniic. szeregu potęgowego można też obliczać rckurencyjnic, różniczkując wielokrotnie stronami równanie różniczkowe. Zgodnie y wzorem Taylora wiemy oczywiście. :,*>vc?ó.'c/ynmk.przy U-*./jest równyj ^K}(ar.,)/*!.

Przykład 2.3.4. wyznaczany cztery początkowe współczynniki Taylora funkcji tanowiąccj rozwiązanie zagonienia początkowego

y'*=l+xy+y²,    y{ 0) = 0.

Z równama wynika, ze /(0)=

Różniczkując stronami równame. ot rzym uje my k o lejna

) ''=>' + xy' + lyy    y"(0» ^0,

y'^v=z2y+2(_vV I xy’+2yy" =>y (0)=4, ...

Stąd

y(x)-x-*x*+ ...

Zauważmy, że te wzory rekurencyjue dla współczynników Taylora wystarczy znaleźć tylko raz. Mciru z tych samych wzorów korzystać w każdym kroku (otrzymując oczywiście różne wartości liczbowe współc^mników). Ogólne porównanie kosztów obliczeń wykony-'wmycb metodą szeregów potęgowych i poprzednie opisany mu metodami jest trudne.

^ zadaniach różniczkowych można też wykorzystywać z pożytkiem inne rodzaje sze-tefiew, np. szereg: C?ębysżewa — /ob. [50].

83.3. .Metody kungego-kuity

że znamy p(A„) i chcemy wyznaczyć przybliżenie y. _T, wartości y\x„ + h). ^vn’^ ^towwaoy w metodach Rungego-Kntty poJegj n.i * uczeniu wartości j [x, y) Pewnych szczególnie dobranych punktach leżących w pobliżu krzywej rozwiązania Ptzedziale (x,, x„ -r fi) i na utworzeniu takiej kombinacji Łvch wartości, która z dobrą

***“«* daje prWk._;->V

* ^alP^ro^^zy wariant nazywa metodą Heima. Oblicza się tu wartości

Oś. 3.4}

k_z = ^fU_n \ k.