333 2

333

8.3. Inne metody rozwiązywania zagadnień początkowych

w widać, zaburzenie wartości początkowej prowadzi do powitania oscylacji, wzrastają* y o około 10% w każdym kroku. To zjawisko określa się jako słabą stabilność lub słabą ^stabilność; zob. przykład 8.5.8.

¹ V,' bardziej realistycznych przykładach oscylacje ujawniają się znacznie później. Jeśli y, jest równe wartości e^-0'¹ zaokrąglonej poprawnie do dziesięciu cyfr ułamkowych, totnaittynastępującą tablicę (zob. Henrici [110], str. 241):

(Dokładne rozwiązanie: r(*) = cxp (—jc))

.^v*    ¹

V. - vix*)    0.00000

y{x>)    1-00000

0.90484    0.81903    ...    0.01803    - 0.00775    0.01958    -0.01166

0.00000    0.00030    ...    0.01129    - 0 01385    0.01406    - 0.01665

0.90484    0.81873    ...    0.00674    0.00610    0.00552    0.00499

Algorytm zmodyfikowane) metody punktu środkowego (Gragg). Przyjmuje się. że /₀ =

=jKd), J'i =3’o + «/ (Xo, >’o)»

(8.3.2)    >•„+!    + 2/i/(x„, J.)    (* = 1,2....).

Dla pewnych wartości x tłumi się oscylującą składową błędu za pomocą następującego wzoru z A' parzystym:

(8.3.3)    ys^Ky*    m-i+htf{x_H. >•*))-

Calkowamc krok po kroku według wzoru (8.3.2) rozpoczyna się następnie od punktu x_s z wartościami początkowymi

Ja- i >>+1 = Jjv + V (*jv . 5h) ■

lany sposób tłumienia oscylacji podano w zadaniu 5 do §8.3.

Przykład 8.3.2. Dla zagadnienia początkowego dyidx—yy(0)=0.25 i dla h—0.5 otrzymujemy wartości

X	/	kf
0	0.25000	0.03125
0.5	0.28125	0.03955
1.0	0.32910	0.05415

y₂ *4(0.32910+0.28125-t-0.05415)=0.33225.

X	y	hf
1.0	0.33225	0.05520
1.5	0.38745	0.07506
2.0	0.48237	0.11634

y_Ą =-0.49308 itd.