345 2

345

8.3. Inne metody rozwiązywania zagadnień początkowych

pierwszą metodę (wzór (8.3.19) i jego postać sumową) można uogólnić na równania

te

, y_m+ i-y„-i__1/

Jn"----2W + 1/2

W tym przypadku metoda staje się niejawną.

Taki sam wybór między różnymi sposobami otrzymywania wyższej dokładności występuje w wielu iimych zadaniach - np. zagadnieniach brzegowych i własnych, a także różnych zadaniach związanych z równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Pytania przeglądowe

1.    Co to jest metoda jednokrokowa? Podać przykład. Podać przykład metody, która nie jest jednokrokowa.

2.    Jak stosować ekstrapolację iterowaną Richardsona w (a) metodzie Eulera, (b) zmodyfikowanej metodzie punktu środkowego?

3.    Opisać zmodyfikowaną metodę punktu środkowego. Jaki jest cci tej modyfikacji?

4.    Opisać szczegółowo cztery różne metody całkowania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych. Skomentować ich zalety i wady (koszt obliczeń, dokładność, stabilność).

5.    Co charakteryzuje „sztywne” zadania różniczkowe?

6.    Co rozumie się przez metodę niejawną i schemat ekstrapoiacyjno-interpolacyjny?

7.    Opisać jakieś sposoby automatycznego sterowania długością kroku.

•j Co rozumie się przez postać sumową, np. jawnej metody różnic centralnych i jaki i** ^cel stosowania tej postaci?

Zadania

h Wyznaczyć szereg Taylora dla rozwiązania równania y‘ =y². y (0) = I, w otoczeniu ^Xa=^* ^tego przybliżenia obliczając y dla *=0.2 i *=1.2 z czterema cyframi dzielnymi. Porównać z dokładnym rozwiązaniem i wyjaśnić, dlaczego w drugim przypadku ^X:=l.2) obliczenia nie były skuteczne.

Za pomocą metody Rungego-Kutty obliczyć przybliżenie >'(0.2), gdzie ><*) spełnia różniczkowe >•'=*+y z warunkiem >(0) = 1. Znaleźć sześć cyfr dziesiętnych *-ywając dwóch długości kroku: A=0.2 i A=0J. Ekstrapolować. Porównać z dokładnym ^•kiem.

następujące metody:

metodę Eulera-Richardsona (h=0.1 i ń=0.2),

^fctodę punktu środkowego (A=0.1) z modyfikacją i bez niej.

³ -jest rozwiązaniem zadania /=*²—y², y(0)=I. Obliczyć ><0.2) losując