343 2

343

8.3. Inne metody rozwiązywania zagadnień początkowych

-2y_n-y*'

_v)jh-bf_n- Wobec tego wariant sumo wy określają wzory

>o = *»

(8.3.21)

(n&J).

>’n = .VR-l + ^“i.-l,2

^Zn+i!2—^Zn-t!2 +Hf»'

T-n wariant jest matematycznie równoważny poprzedniemu, ale w obliczeniach,*gdy stosuje _arytJrtetykę zmiennopozycyjną pojedynczej precyzji, oba warianty są różne.

PrżYKŁAH 8.3.8. Weźmy równanie różniczkowe

y”=k.    >(0)=0.l .    /(0)=0,

gdzie fc»0.654321. Niech będzie A =0.01, n^lOO. Można łatwo wykazać, że wtedy 0.1 < śy_r< I Załóżmy, że używa się sześciocyfrowej arytmetyki zmiennopozycyjnej. W metodzie różnicowej każda operacja ma postać

2y_m—y„-i =0.xxxxxx

+ A²/„=0.0000654321

>’.+i=*0.yyyyyy

Ostatnie cztery' cyfry' stałej k w- ogóle mc wzywają na wynik. W istocie zamiast równania /'=0.654321 rozwiązuje się rówmanie y'=0.65.

Dla postaci sumow'cj i dla /i>15 zachodzi nierówność 0.1 <r„< I. Dlatego większość operacji będzie miała postać

z„__1/2=0.uuuuu    >_B=0.xxxxxx

+hf„ =a 0.00654321    +hzń+in “0.00Wvvvv

*■+1,2 *0.wvwv    JVm -O.yyyyyy

Obliczając z traci się dwie ostatnie cyfry wartości /. Znaczy to z grubsza tyle, że dla n> 15 rozwiązuje się równanie y" = 0.6543. Ostateczny efekt jest taki, że dwie ostatnie cyfry wartości stają się bezużyteczne; wobec tego przesunięcie z w dodaw-aniu dającym y jest ^ł03*° ^Ważne. Różnicę między dwoma algorytmami wyjaśnia rola wielkości z (obliczanej ^ dodawaniu postaci <?(!) + 0{h)) jako nośnika informacji z jednego kroku do drugiego.

postaci sumowej występuje strata dokładności, ale jest to strata tego samego rodzaju, ró“ ^{W ćafltóWan}M numerycznym lub w rozważanych wcześniej metodach dla równań _ ^zkowych. Liczby z i y można zapamiętać z podwójną precyzją, natomiast obliczanie funkcji /, zajmujące najwięcej czasu, wykonuje się z pojedynczą precyzją. Jeśli takiej częściowej podwójnej precyzji, to zalety postaci sumowej częściowo znikają. *' • tąkże przykład 2.3.5 pokazujący wyjście z sytuacji, gdy podwójna precyzja nie jest ^aas*ępna.