339 2

339

8.3. Trute metody rozwiązywania zagadnień początkowych

p*ZYic*-^An 5.3.7.

w **. II ■Sl-8	>’i(0)= 1 ,
—— 1001 >'2 — I000y*|, dx	y*i0)—

Rozwiązanie dokładne: >i(x)=>exp (-x). (Rozwiązanie ogólne: >',(*)=/* cxp (-*) + _ g_c.xp (- lOOO^Y). Metoda Rungego-Kutty przestaje tu działać mniej więcej dla h = -00027; jest to bardzo niezadowalający krok, jeśli chodzi o opis funkcji exp (- x). Wyjaśnienie. tej raptownej zmiany można znaleźć w zadaniu 7 z § 8.3.

Dwa powyższe przykłady mają tę wspólną cechę, że dotyczą procesów (opisanych za pomocą równania różniczkowego) z bardzo różnym? skalami czasu. Opisane metody wymagają uwzględnienia najszybszego procesu nawet tam. gdzie odpowiednia składowa zanika w^r rozwiązaniu dokładnym. Pewne wyjaśnienie tego faktu znajdzie się w § 8.5.3. Trudniejsze zadania - duże układy nieliniowe — występują w wielu bardzo ważnych zastosowaniach, np. w^r symulacji reakcji chemicznych, układów elektronicznych, systemów sterowania itd. Te zadania nazywa się czasem zadaniami sztywnymi. Gdy pisano tę książkę, podjęto już intensywne badania zmierzające do znalezienia metod odpowiednich do takich zi\dań. Tutaj dajemy tylko ogólną orientację w tym zespole zagadnień, odsyłając do książki Geara [108] (rozdział 9) czytelników zainteresowanych bardziej szczegółowymi wiadomościami. W § 8.5.4 będzie wprowadzone pojęcie stabilności typu A(x), właściwe dla zadań sztywnych.

Najskuteczniejsze okazały się metody niejawne. Na przykład z pożytkiem zastosowano metodę trapezów (8.3.7) połączoną z wygładzaniem i ekstrapolacją Richardsona. To samo dotyczy metody niejawnej punktu środkowego:

>'*+1-y_u=hf (j (y_a+y_m+,)).

Proces iteracyjny (8.3.8) nie jest jednak dobry dla zadań sztywnych, gdyż warunek zbież-ⁿ°^iCi (5-3.9) oznacza, że najszybciej zmieniające się składniki ograniczają szybkość zbież-^aosCl’^{a w}*?^c > dopuszczalną długość kroku. Nie można się z tym pogodzić i zamiast wspem-procesu używa się metody Newtona (zob. § 6.9.2) tub takiego jej wariantu, w którym ■otnan oblicza się nie w każdym kroku.

nnc metody niejawne, które skutecznie działają dla zadań sztywnych, są oparte na zorze różniczkowania wstecz¹.:

/»/)== -ln(l-r) = P-rłF²+iF³-...;

siab!*^⁶ ^ końcu § 7.6. Jcdnvm z przykładów jest metoda wsteczna Eulera (o dobrej ****** i niskiej dokładności)

yn+r-y^Ąfiy.+t)