347 2

347

8.3. Inne metody rozwiązywania zagadnień początkowych

_Aby 'wyznaczyć ><1) przyjmuje .się, że

(x_n = nh)

.V.₊2-2y„-,+2y„-|-^-₂

>• u..* ,, —-----_2h-,--

i dowodzi się prawdziwości wzoru

>'„₊z=2y„₁., +2fc^,x.y_--2jt_l,_, +>„-₂. y₀ = I •

Wartości początkowe y,, j₂> >*₃ konieczne w tym wzorze rekurencyjnym można otrzymać _np. metodą Rungego-Kutty z krokiem h.

(a)    Jaki jest rząd dokładności metedy?

(b)    Poniższa tablica pokazuje wyniki obliczeń otrzymanych za pomocą opisanej ■wyżej metody:

h	Att=0.2		r^o		iV*.	n*®
vH,A)	1.54523	1.54568	1.54591	1.54593	1.54592	1.52803
		>	•55*®
		1.50045	1.51262	.48828

Co jest intrygującego w tych wynikach? Wyjaśnić przyczyny kłopotów.

10.    Rozważyć zastosowanie metody Cowella do równania liniowego

y’=p{x)y+q(x).

Wykazać, żc przy oznaczeniach z (8.3.23) jest

. ₌/>(*,) «« + ?(*,)

*    ]-h¹p(x,)ll2 '

11.    Napisać programy rozwiązywania równania y" = /(.xr, >') metodą różnicową (8.3.19) i jej wariantem sumowym (8.3.21). Zastosować je do równania /' = — > , porównać wyniki ^z dokładnym rozwiązaniem, wydrukować błędy. Wykonać serię eksperymentów numerycznych dla zaznajomienia się z dokładnością ekstrapolacji Richardsona i oceny wpływu błędów zaokrągleń.

Rozpatrzeć zagadnienie początkowe

/'=(l-x²)y,    y(0) = 1.    >'(0) = 0.

(a) Pokazać, źe rozwiązanie jest funkcją parzystą.

O⁵) Wyznaczyć y(0.4) metodą Cowclła (bez żadnego specjalnego wzoru startowegoj ⁷- długościami kroku h-0.2 i /t=0.4. Zastosować ekstrapolację Richardsona.

13. (a) Zaprojektować metodę rzędu trzeciego służącą do rozwiązywania równania -śnieżkowego >•' =/(x, >•) i opartą na wzorze Adamsa-Bashfortha (8.3.10). Zastosować 3% do równania y's=y*_f A =0.1 i obliczyć y₂ i y\ dla danych wartości

y₀ = l .0000, y, = 1.1111, y₂ = 1.2500. i vi>ⁿ«vać czterech cyfr ułamkowych. Wyniki obliczone porównać z dokładnymi.