27904

IG | - liczba wszystkich permutacji w grupie G.

Lemat Burnside’a - liczba orbit w grupie G wyraża się wzorem:

Pierścień abstrakcyjny - algebra <S. +, •> wyposażona w relację równości, taką że

1.    <S. +> - jest grupą abelową

2.    <S, •> - jest grupoidem

3.    x*(y+z) = (x^#y)+(x*z) - zachodzi rozdzielność działania względem działania Pierścień łączny - pierścień abstrakcyjny, w którym <S. • > jest półgrupą.

Pierścień z jednością - pierścień abstrakcyjny, w którym <S, •> jest monoidem.

Dzielniki zera - liczby x,y. takie że x.yeS\{eJ a x*y = ei. gdzie ei - element neutralny grupy <S. ♦>. Pierścień całkowity - pierścień abstrakcyjny bez dzielników zera. w którym <S. •> jest monoidem abelowym.

•pierścień abstrakcyjny, w którym <S\{eJ. • > jest monoidem abelowym.

Ciało - pierścień abstrakcyjny, w którym <S\{ei}, •> jest grupą

Pole zwane także ciałem przemiennym - pierścień abstrakcyjny, w którym <S\{ei}, •> jest grupą abelową Kryterium na całkowitość pierścienia przemiennego z jedynką - pierścień z jedynką jest całkowity, jeśli spełnione są następujące warunki:

1.    V x,yeS, x»y = y«x - pierścień jest przemienny

2.    V a.b.x€ S, (a*x = b'XA x*ej => a=b - pierścień nie posiada dzielników zera

Kryterium na to, aby pierścień z jedynką był ciałem - pierścień z jedynką jest ciałem, jeśli spełniony jest warunek:

V x€ S\{ei}. 3 ye S. x*y = e₂ - dla każdego niezerowego elementu x istnieje element odwrotny ze

względu na działanie ” •"

Każdy skończony pierścień całkowity jest ciałem.

Homomorfizm pierścieni - przekształcenie h:A-»V, takie że:

1.    h(x+y) = h(x) + h(y)

2.    h(x«y) = h(x) • h(y)

Rodzaje homomorfizmów -

Jądro homomorfizmu - Ker(h) = {ae A: h(a) = ej, e] - element neutralny działania Ideał - każdy podzbiór 1 zawierający się w nośniku S. taki że:

1.    a.be I => a+be I - zamknięty ze względu na dodawanie.

2.    ael, k€S => k«ael a a*kel - zaraźliwy ze względu na mnożenie. Iloczyn kartezjański pierścieni -

(s xA.<se«25Jto.6).ci.I)) - iloczyn kartezjański pierścieni SxA = {(s.a): se S. ae A}

(si.aj © (s_ŁaJ = (Sł+s.., a,+aj (Si.aJ ® (sj.aJ = (s, Si a, aj Pierścień zbiorów -Ciało zbiorów -o-ałgebra zbiorów -

Pierścienie liczbowe - pierścienie, w których nośnikiem jest zbiór liczb, np Z. Q, R, C, a dział”+" i Pierścień <Z(bj, +■, •»> jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

Ciało Galois -

Twierdzenie o reprezentacji: Każde ciało skończone jest rozszerzeniem pewnego GF(n); co więcej - każde z tych rozszerzeń liczy q = n". gdzie n jest liczbą pierwszą a me N.

Konstrukcja ciała GF(4) -

Ciało liczb zespolonych -

Postać Hamiltona - z = (x.y).    x = Rez, y = Im z

Postać Gaussa - z = x+ iy.    i² - -1

Postać trygonometryczna - z = r (cos 9 +    i sin <p),    r = | z | = yjx² -*-y²    , x    =    Re z. y = Im z

Moduł liczby zespolonej - I z | = ^Jx² -*-y-    ,    x = Re z, y = Im z

Argument liczby zespolonej - arg z = 9.    z = r (cos <p + i sin    9)    = r e*