34665

Korzystając z wprowadzonej notacji, pole „trójkąta parabolicznego" można wyrazić następująco:

s:

x²dx.

Definicja całki oznaczonej dla funkcji przedziałami ciągłej

Uwaga 1. Wzorem (2) można zdefiniować całkę oznaczoną dla pewnych funkcji nieciągłych, np. dla funkcji przedziałami

ciągłych. Funkcję / nazywamy przedziałami ciągłą na przedziale [a,6], jeżeli istnieją liczby ci,ca.....c* takie, że: (i)

a < ej < ... < Ck < 6. (ii)/jest ograniczona na [a, 6] oraz ciągła na przedziałach (o. C]),(ci,C2),... (c*_i,c*),(c*,&), (iii) / ma granice lewostronne w punktach a, ej,..., c* oraz prawostronne w ci,..., c*, b.

Całki Rfcmanna i Lebesgue'a

Potrzeby praktyki (i teorii):

konstrukcja całki pewnych funkcji, które nie są przedziałami ciągłe (na odcinku [a, 6].) Konstrukcje takie podali: B. Ricmann (1826-1866): H. Lcbcsguc (1875-1941)

Całka f* f{x)dx gdy /> < a

Jeśli a < 6. to będziemy przyjmowali:

J^ f(x)dx- - y* f(x)dx.

oraz (gdy a = b)

f f{x)dx = 0.

Ja

Całka oznaczona funkcji ujemnej-intcrpretacja geometryczna

Jeśli funkcja / jest ujemna na przedziale [a, 6j. a < b. to całka f f{x)dx jest równa polu figury ograniczonej: prostymi y = 0, x = a i x = bonu wykresem funkcji f(x) pomnożonemu przez (-1).

Zastosowanie do obliczania drogi przebytej w ruchu zmiennym

Punkt materialny porusza się ruchem prostoliniowym z prędkością r(ł) zależną od czasu. Chcemy znaleźć drogę .s przebytą przez len punkt w przedziale czasowym [a. 6]. Zakładamy, że funkcja v jest ciągła.

Podzielmy przedział [a. 6] na n odcinków o równej długości:

[to»tl)'[tl't>).....(fn-2,<n-l),(fn-ł,<nj» gdzie t₀ = Mn =*>

droga przebyta przez punkt materialny w przedziale czasowym [#,_i.= [a + (i - l)^jp,a + i—²) lub    =

[a -ł- (i - l)^p.a + »*=£) jest równa w przybliżeniu v(f<_i)^=S. wartość przybliżona drogi przebytej przez punkt materialny na przedziale: [o, b] jest:

(3)

Zastosowanie do obliczania drogi przebytej w ruchu zmiennym— c.d.

Przechodząc do granicy (n —► oo):

f^b

s = lim = / v(t)dł. ⁿ~°° Ja

Jeśli V(f) jest dowolna funkcją pierwotną funkcji v(t) na przedziale I = [«. 6]. wtedy droga przebyta przez punkt materialny w przedziale czasowym [a,b] jest równa V(6) - V(a).

Twierdzenie New tona-I^ibniza

Twierdzenie I. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, 6], to

f f{x)dx = F(b) - F(a).    (4)

gdzie F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.

2