39725

Niezorowy picrścieńprzemienny z jedynką w którym kaŚdy niezerowy element jest odwracalny nazywamy ciałem.

JeScli K i L sącialami i K jest podpierścieniem L to mówimy, Se k jest podciąłem L, lub Se L jest rozszerzeniem K.

Zbiór K* = (K\{0J, *) nazywamy grupąniultiplikatywnąciala K.

SSSTTTWW:::

Przekrój dowolnej niepustej rodziny podpierścieni ustalonego pierścienia A jest podpierścieniem tego pierścienia. Analogicznie stwierdzenie prawdziwe jest dla pierścieni z jedynkąi dla ciał.

Niech/• A —> B będzie homomorfizmem pierścieni.

Zbiór Im/ = /f[a): aeA ) nazywamy obrazem homomorfizmu/

Zbiór Ker / = /aeA : f(a) = 0 } nazywamy jądrem homomorfizmu /

S SST TT W W: ::

Homomorfizm/jest iniekcją<=> Ker/ = {0}

SSSTTTWW:::

Im/jest podpierścieniem pierścienia B

Dla homomorfizmów pierścienia z jedynkajest to podpierścieńz jedynką.

JeSeli A i B SA niezerowymi pierścieniami z jedynką./- A    B jest homomorfizmem

pierścienia z jedynką, to f(lA) = In* On zatem he Ker /

Stąd Ker/nie jest podpierścieniem z jedynka pierścienia A. np. Z, Q, R, C Q, R,C- ciała.

Podpicrścieuie ciała C • Ciała kwadratowe

Niech De Zbędzie liczbąbezkwadratową, tzn:

V/ieN: n>l ® m nie dzieli D D* {1,0)

£( d)= {a + b D : a.beQ}

(?( d) jest ciałem

Istotnie zamkniętośćna odejmowanie i mnoScnie to proste ćwiczenie.

Dowodu wymaga jedynie odwracalnośćelementów rośnych od 0.

Niech a + b D € (?( D), a + b D*0 Wtedy:

D

abD

b

abD

a

abD

abD

a b D 222222 I