40093

Każdy podzbiór zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny.

DOWÓD

Załóżmy, że X Q Y, Y e NSP oraz X e NPS. Skoro X £Y, więc C_nl(X) £C*(Y) (*) (monotoniczność Cm). Gdyby zbiór X był sprzeczny, to istniałaby taka formuła A, że Ae C_nl(X) oraz (~A) e Co_L(X). Z uwagi na (*) mamy Ae Ci(Y) i ("A) e Ci(Y). To jednak znaczyłoby, że Y e NSP, co jest sprzeczne za założeniami.

TWIERDZENIE 3Svntaktvczne twierdzenie o zwartości

Zbiór X jest niesprzeczny wtw kiedy każdy skończony podzbiór zbioru X jest niesprzeczny.

DOWÓD

-> Wniosek z twierdzenia 2: jeżeli X e NSP, to każdy podzbiór zbioru X jest niesprzeczny, a więc i skończony.

<- Załóżmy, że każdy skończony podzbiór X jest niesprzeczny oraz X e NSP (nwp). Jeśli

X e NSP to znaczy, że istnieje takie A, że A e Coi(X) i (~A) e Ci(X). Z uwagi na finitystyczność operacji Cu istnieję skończone zbiory Y|C X i Y₂ę X takie, że A e Cm{Yj) zaś (~A) e Ci(Y₂). (Y, U Y₂) jest skończonym podzbiorem zbioru X i przy tym

A e Ci(Yi U Y₂) oraz (~A) e C_ni(Yi U Y₂). Znaczy to zaś, że pewien skończony podzbiór zbioru X jest sprzeczny, co jest wbrew założeniom.

Z twierdzenia 3 otrzymujemy wniosek: zbiór X jest sprzeczny wtw istnieje skończony podzbiór zbioru X, który jest sprzeczny.

TWIERDZENIE 4

X e NSP wtw istnieje przynajmniej jedna formuła A eCm(X).