103987

Definicja

Rozważmy przestrzeń liniową Kⁿ złożoną z n-elementowych ciągów o wyrazach z ciała

liczbowego K. Układ wektorów    e K takich, że e_t = (0.....0,1,0,-O) (na i-tym

miejscu jest 1) stanowi bazę Kⁿ. Nazywamy ją bazą kanoniczną.

Twierdzenie

Wektory a,,•••,«„£ Kⁿ stanowią bazę K" wtedy i tylko wtedy gdy det[a,.....aj * 0.

Definicją

Macierzą przejścia od bazy kanonicznej Kⁿ do nowej bazy a,,-”,a„e Kⁿ nazywamy macierz B = [a,... .,a„ ], której kolumnami są wektory a, ,•••,«„ . Macierz B jest nieosobliwa.

Definicja (przestrzeń afmiczna)

Niecli dana będzie przestrzeń liniowa V    nad ciałem liczbowym K, zbiór £* 0

oraz funkcja co.E* E->V taka, że

1)    A A V! (o(A,B) = a

Ach. arV Het.

2)    A _f    )© o)(B, C) = a>(A,C)

to strukturę (E,V,a)) nazywamy przestrzenią afiniczną stowarzyszoną z przestrzenią liniową V. Elementy E nazywamy punktami

Jeśli przyjąć oznaczenia co(A.B) = AB to warunki 1) i 2) można zapisać:

1)    A A V! ~AB = ct

AeEaeV 0e£

2)    A AB@BC = AC.

A.B.CtE

Własności:

A<y(AA) = 0

AeF    '

A (o(A,B)=-6)(B,A)

A.BtE

Definicja <przesuniecie przestrzeni afinicznei)

Jeśli AeE, aeV to istnieje jeden BeE taki, że a)(A.B)=a. Punkt B nazywamy sumą punktu A i wektora a : A + a. Jeśli ustalimy aeV to odwzorowanie /:£-»£ takie, że A f(A) = A + a nazywamy przesunięciem przestr zeni afmicznej E o wektor a.

AeE

Twierdzenie

Jeśli dany jest układ równań liniowych AX = B A e M_Bm, X e M_wl, BeM_nl o wyrazach z ciała liczbowego K, rzA = rąA : B] oraz stowarzyszony z nim układ jednorodny AX = © orazH = {x e K^m : AX = b}, p_ae H ,W = {x e K^m : AX = ©}, to H = p₀ + W