104087

3. Przykład zastosowania w fizyce:

a) W fizyce prędkość chwilową ciała definiuje się jako pochodną jego położenia względem czasu:

(1).

_

^V“ dt

Jeżeli zależność (1) pomnożymy obustronnie przez dt i scałkujemy obustronnie, otrzymamy takie oto równanie:

(2). Możemy więc powiedzieć, że położenie jest całką z

J \dt=J dx J vdt=x+C=x+x₀

prędkości po czasie. W tym przypadku naszą stalą całkowania jest początkowe położenie ciała.

b) Z kolei pochodna prędkości chwilowej po czasie interpretowana jest jako przyspieszenie ciała:

dv /->\

^a=Y, ⁽³⁾

Również to równanie możemy obustroniue pomnożyć przez dt i scałkować. Otrzymamy wtedy taką zależność: f adt- f dv

_f    (4). Tak jak wcześniej możemy powiedzieć, że prędkość jest

| adt= v+C = v+v₀

całką z przyspieszeiua po czasie. Tym razem stalą całkowania jest prędkość początkowa.

4. Ruch ciała ze stałym przyspieszeniem.

Załóżmy, że mamy ciało, które porusza się ze stałym przy spieszeniem a=ai. Chcemy się dowiedzieć, jaka jest prędkość ciała oraz jego położenie.

a)    Zgodnie ze wzorem (4) otrzymujemy:

v(/)=J adt-at+C=at + v₀ (5) - otrzymaliśmy zależność prędkości ciała od czasu.

b)    Teraz zgodnie z (2) całkujemy prędkość po czasie i otrzymujemy położenie ciała. Za v(t) podstawiamy wynik z (5):

.r(/)=J v[t)dt=f \at + v₀)dt = f atdt+ f v₀dt=^-+V₀t+C = ^-+V₀t+ x₀ (6)

Otrzymaliśmy wzór na położenie ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

5. Ruch w dwócłi wymiarach.

Aby rozwiązać dowobie zadanie z ruchu w dwóch wymiarach, wybieramy sobie najwygodniejszy układ współrzędnych i piszemy równania dla dwócłi składowych położenia: x i y. Zwykle będą to rów^fnania dla mchu jednostajnie przyspieszonego. Zgodnie z (6) mamy:

a_xr

x = x₀+v_0xt+ —

,2 (7)

a_vt

y=yo+^vo>^t+—

Z tego układu równań, znając odpowiednie warunki, możemy dowiedzieć się wszystkiego o ruchu ciała w dwócłi wymiarach. Niczego więcej na ten temat nie trzeba pamiętać.