CCF20090319060

Przykłady zastosowań całek 69

a różniczkę pracy dW można zapisać jako dW = F(tp)rdtp. Szukaną, pracę można zatem wyliczyć za pomocą całki oznaczonej

r n/2    rc/2

W =    / F(<p)r dtp =■ mgr / (cos tp + p sin tp) dtp =

Jo    Jo

= mgr [sin tp — g cos tp\= mgr( 1 + g).

4. Wyznaczyć moment bezwładności jednorodnego walca o masie m i promieniu R, obracającego się wokół osi symetrii.

Rozwiązanie. Moment bezwładności I bryły wyraża się wzorem

1 =

/

r² dm,

gdzie r oznacza odległość niewielkiej masy dm od osi obrotu. W naszym zadaniu różniczka dm oznacza masę wydrążonego walca o promieniu wewnętrznym r i grubości ścianek dr. Jeśli przez V oznaczymy objętość walca o wysokości H, to z proporcji

dm dV m V

wyznaczamy

^im=v^iv=pm

■ 2rtrH dr

2 m

W

r dr

i po podstawieniu otrzymujemy

/ =

2 m

w^rdT

2 m

~R?

Moment bezwładności walca o masie m i promieniu R wynosi zatem mR²/2.