CCF20090319058

^I\

^I\

67

Przykłady zastosowań całek

3.4. Przykłady zastosowań całek

1. Prędkość samochodu (w km/h) zmienia się w czasie zgodnie ze wzorem

v(t) = 60 + 4321,

gdzie t jest wyrażone w godzinach. Ile kilometrów przejedzie samochód w ciągu 10 minut?

Rozwiązanie. Prędkość jest pochodną drogi s względem czasu t, czyli

/ \ ds

”^(,) = TC•

stąd ds = vdt, a po scałkowaniu

(3.15)

Czas zmienia się od 0 do 1/6 godziny, mamy więc

Samochód przejechał 16 kilometrów.

2. Ziarnko piasku utkwiło na brzegu koła roweru o promieniu r. Obliczyć długość łuku zakreślonego przez ziarnko, gdy:

a)    koło obraca się w miejscu;

b)    toczy się bez poślizgu.

Rozwiązanie. Jeśli ciało porusza się po torze krzywoliniowym, to długość łuku (drogę) L liczymy ze wzoru (3.15), który teraz zapiszemy w dwóch równoważnych postaciach

2

dx, (3.16)

ni fun-

zależnie od tego, czy równanie toru jest określone parametrycznie, tzn. w postaci x = g(t), y = h(t), czy też jako y — f(x).

a) Równania parametryczne okręgu mają postać

x{t) = r cosut, y(t) = rsmut,