108430

Istota metody redukcyjnej

polega na eliminowaniu kolejnych niewiadomych układu, aż do momentu otrzymania jednego równania z jedną, ostatnią niewiadomą. Po jaj wyznaczeniu oblicza się pozostałe niewiadome z kolejnych reduktów zaczynając od końca, przy czym i-tym reduktem układu wyjściowego nazywamy układ równań otrzymany z danego po eliminacji i początkowych niewiadomych. Eliminacja i-tej niewiadomej z (i-l)go reduktu polega faktycznie na obliczeniu i-tej niewiadomej z pierwszego równania tego reduktu jako funkcji pozostałych niewiadomych i podstawieniu jej do następnych równań. Tok dowodu:

Rozważmy układ n równań liniowych z n niewiadomymi, który zapiszemy w postaci uproszczonej podanej schematem (1)

XI X3...Xn 1/ al b2 cl...nl Il/-a2-a3-...-a2 b2 c2...n2 12/al a3 b3 c3...n3 13/ al

...................../...

aii bil cii...Nn ln_al

(ala2-a2al )(alb2-a2bl)(alc2-a2cl)...(aln2-a2nl )(al l2-a2l 1)

(al a3-a3a 1 )(a 1 b3-a3bl )(alc3-a3cl).. .(a 1 n3-a3nl )(a 113-a311) (a 1 an-ana 1 )(a 1 bn-anb 1 )(a 1 cn-ancl)...(al Nn-anN 1 )(a 1 ln-anl 1) (2)

Aby obliczyć kolejne równania pierwszego reduktu R1 pomnóżmy pierwsze równanie przez -a2, drugie przez al i zsumujemy następnie pierwsze przez - a3, trzecie przez al i zsumujmy...Wreszcie mnożąc pierwsze równanie przez -an, a n-te przez al i sumując otrzymamy ostateczne równanie pierwszego reduktu. Otrzymujemy pierwszy redukt układu wyjściowego jest układem (n-1) równań z (n-1) niewiadomymi x2,x3,...,xn, gdyż jak łatwo spostrzec, wszystkie współczynniki przy xl są równe zenu Jest przy tym oczywiste, że układ R1 jest równoważny danemu gdyż mnożenie równań przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Zauważmy, że wyrażenia objęte nawiasami, czyli współczynniki redukatu Rl, można przedstawić w postaci wyznaczników dnigiego stopnia bardzo prostych do zestawienia i obliczenia. Powyższa uwaga pozwala otrzymany układ (2) zapisać w postaci:

_x2_?ł3_XD_1

al bl//al cl/.../al nl//al 11/ a2 b2//a2 c2/.../a2 nl//a2 12/

al bl//al cl/.../al nl//al 11/ a3 b3//a3 c3/.../a3 n3//a3 13/

al bl//al cl/.../al nl//al 11/ an bn//an cn/.. ./an Nn//an ln/ (3)

Dokonując identycznego przekształcenia reduktu Rl otrzymujemy redukt R2 a przedłużając postępowanie dalej otrzymujemy wreszcie ostatni redukt stanowiący jedno równanie, z którego obliczamy niewiadomą ostatnią. Podsumowując ją do właściwego równania przedostatniego reduktu wyznaczamy przedostatnia niewiadomą i postępując analogicznie -obliczymy niewiadome pozostałe.