109400

/w punkcie (®i /1³') )merównoległej do osi O Y, zaś wartość f(^x) jest wspólczyimikiem kienuikowyin tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi OX).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna - stromy wykres, niewielka pochodna - wykres łagodnie wznoszący się. ujemna pochodna - wykres opadający itp.).

Róiniczkowalność w zbiorze

Jeśli dziedziną fimkcji / jest zbiór otwarty U i jeśli / ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to / nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze (/, a funkcję / , która każdej liczbie X € U przyporządkowuje liczbę / (^x), nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji J na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność

tego procesu. Na przykład, jeśli ^s W jest funkcją drogi od czasu, to jej pochodna ^s (0 jest prędkością chwilową.

Jeśli ^1; Wjest funkcją prędkości od czasu, to ^v Wjcst przyspieszeniem.

Druga i dalsze pochodne

Jeżeli pochodna / funkcji /jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez / i nazywa pochodną drugiego rzędu funkcji /lub prościej drugą pochodną funkcji /.

Podobnie okr eśla się trzecią pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

// fil fili ftV fV

i J i J i J i J 1 • • *,

albo arabskimi - jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą jej stopień ujmuje się w nawiasy: /", /⁽³\ /^W, ^ •••

Zgodnie z tą konwencją, samą funkcję /oznacza się czasem jako jej własną "pochodną zerową":

W /^°^; s / równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się również kr opkami nad funkcją (zmienną w równaniach różniczkowych):