110343

2

W przypadku granic niewłaściwych ^—+°°zbiór liczb rzeczywistych zostaje rozszerzony o dwa nowe elementy oznaczane “OO? +OC Topologicznie w efekcie takiej operacji uzyskuje się zbiór homeomorficzny z odcinkiem domkniętym. Rozszerzony w ten sposób zbiór Roznacza się zazwyczaj R. W przypadku granicy niewłaściwej OC zbiory liczb rzeczywistych bądź zespolonych są rozszerzone o nowy element oznaczany symbolem oo. Topologicznie rozszerzenie tego typu jest homeomorficzne odpowiednio z okręgiem lub

ze sferą. Tak rozszerzony zbiór Roznacza się zazwyczaj R*lub ^ia rozszerzony zbiór C oznacza się C*lub C.

Mówi się, że ciąg (a„) ma granicę niewłaściwą w OO lub jest rozbieżny do ⁰⁰1 jeżeli

Va/>o 3* V_n>jv |an| > M.

Można wysłowić to następująco: dla dowolnie dużego kola o środku w 0 prawie wszystkie wyrazy ciągu a_n leżą na zewnątrz tego kola.

Jeżeli (a„) jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie wyrazy jego a_n o indeksach większych od /V są dodatnie, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w +°°i bądź że jest rozbieżny do +3° i jeżeli są ujemne, to ma on granicę niewłaściwą w —OO lub że jest rozbieżny do — OO.Równoważiue można powiedzieć, że ciąg (a„) ma

•    granicę niewłaściwą w +00, jeżeli

^A/fR    V_n>JV On >

•    granicę niewłaściwą w —OO, jeżeli

VA/_fcR    V_n>/v On < M.

Przykłady

• Granicą ciągu (1.2.5.13) jest 1 iczba 13. W ogólności granicą ciągu skończonego jest j ego ostatni wyraz.

•    Granicą ciągu ^0,1 n jest 0.

1

Dla dowolnego € wystarczy za N wziąć dowolną liczbę naturalną większą od ?^H1 Wówczas

łi N i i ^ r

dla dowolnego wskaźnika n >N otrzymuje się    c ^łczyli n

r= _J_

Przykładowo dla 1000 wszystkie wyrazy ciągu ^a1001i ^a1002i ^a1003i •••

1

oddalone są od zera o nie więcej niż 1000 *

b = -^JL-

•    Granicą ciągu ⁿ n+1 jest I.