101992

Pochodna drugiego rzędu:

Niech / będzie funkcją różiiir/kownluą w zbiorze X C R Jeżdi funkcja g(x) = f^r[x). x € X ma pochodną w punkcie xo € X. to pochodną tę nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w punkcie xq i symbolicznie oznaczamy /"(*o) albo o) Podobnie określa się pochodne rzędu trzeciego, czwartego itd.

Kryterium monotoniczności funkcji:

Niech P będzie przedziałem oraz niech / : P —» R będzie funkcją różnirzkowalną. Wówczas 1 funkcja / jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy /'(i) > 0 dla x € P

2. funkcja / jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy /'(x) < 0 dla x € P

Definicja maksimum i minimum lokalnego:

Niech X C R / : X -* R oraz niech xq € X.

Mówimy, że funkcja / uia w punkcie xq maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U cH punktu jro takie, że U C X oraz dla każdego x € U zachodzi f(x) < /(xq).

Mówimy, że funkcja / ma w punkcie Xq minimum lokalne, gdy istnieje otoczenie U C R punktu Xq takie, że U C X oraz dla każdego x € U zachodzi f(x) > /(aro)-

Mówimy, że funkcja / ma w punkcie aro ekstremum lokalne, gdy / ma w punkcie xo maksimum lub minimum lokalne

(Warunek konieczny istnienia ekstremum). Niech / : X —* R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie xo. .leżeli funkcja / ma w punkcie aro ekstremum, to /'(xo) = 0.

Definicja funkcji wklęsłej, wypukłej i punktu przegięcia:

Niech / : X —» R. gdzie X C R oraz niech P C X będzie przedziałem.

Mówimy, że funkcja / jest wypukła w przedziale P gdy dla każdych arj, X2 € P ora* Aj, A2 € R takich, że Ai, A2 > 0 oraz Ai + A2 = 1 zachodzi

/(Ajxi + A2Z2) < Ai/(xi) + A2/(*2).

Mówimy, że funkcja / jest wklęsła w przedziale P. gdy dla każdych *i,X2 € P oraz Aj,A2 € R takich, że Aj, Aa > 0 oraz Ai + A2 = 1 zachodzi

/(AiXi + A2X2) > Ai/(xi) + A2/(X2).

(kryterium wypukłości i wklęsłości funkcji). Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P —* R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w P. Wówczas

1.    funkcja / jest wypukła w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy /*(x) > 0 dla x € P

2.    funkcja / jest. wklęsła w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy /*(x) < 0 dla x 6 P

Niech f : X —* R X C R. będzie fimkcją ciągłą. Mówimy, że funkcja / ma w punkcie xq € X punkt przegięcia, gdy istnieją a,b € M takie, że xo € (a, b) C X oraz funkcja / jest wypukła w- (a,xo] i jest wklęsła w \xg,b) lub fiiukrja / jest wklęsła w (a,xo] i jest wypukła w |xo,fc) (warunek konieczny istnienia punktu przrgięria). Niech / : X —* R będzie funkcją różniczko wabią, posiadającą drugą pochodną w punkcie xo € X. Jeśli funkcja / ma w punkcie xo punkt przcgięria. to fⁿ(xq) = 0